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Questão de Matemática — Geometria Plana — FGV 2024

MatemáticaGeometria Plana
Código
fg102480
Banca
FGV
Órgão
DNIT
Ano
2024
Nível
Superior
Os pontos A, B e C estão, nessa ordem, sobre uma reta e as distâncias entre eles são AB = 8cm e BC = 20cm. O ponto M é médio do segmento AC, o ponto N é médio do segmento BM e o ponto P é médio do segmento BC.O segmento NP mede
  1. A4cm.
  2. B5cm.
  3. C6cm.
  4. D7cm.
  5. E8cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 7cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 7 cm (alternativa D).

A ideia por trás

O ponto médio de um segmento é o ponto que o divide em duas partes iguais. Quando pontos estão sobre uma mesma reta, podemos representar cada um por sua posição (coordenada) e calcular distâncias por diferença. A posição do ponto médio entre dois pontos de coordenadas x e y é (x + y)/2. Nesta questão, precisamos localizar todos os pontos (M, N e P) antes de medir o segmento NP, pois NP não é diretamente um dos segmentos dados.

O que a questão dá

  • AB = 8 cm

  • BC = 20 cm

  • A, B e C colineares nessa ordem

  • M é ponto médio de AC

  • N é ponto médio de BM

  • P é ponto médio de BC

O que queremos: a medida do segmento NP

Passo 1 — Posicionar os pontos na reta

Para calcular distâncias entre pontos na reta, precisamos saber onde cada um está. Adotar uma coordenada para A facilita: a partir dela, somamos as distâncias dadas para achar B e C.

Por que esta fórmula: Como A, B e C estão em ordem, a posição de B é a posição de A mais AB, e a de C é a posição de B mais BC.

B=A+AB,C=B+BCB = A + AB, C = B + BC

De onde vem cada valor: AA = adotado como 0 · ABAB = enunciado: 8 cm · BCBC = enunciado: 20 cm

B=0+8=8,C=8+20=28B = 0 + 8 = 8, C = 8 + 20 = 28

A = 0, B = 8, C = 28

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar AB para achar B, ou somar errado.

Passo 2 — Calcular a posição de M

M é o ponto médio de AC, então precisamos da média das posições de A e C para localizá-lo.

Por que esta fórmula: O ponto médio entre dois pontos tem coordenada igual à média aritmética das coordenadas.

M=A+C2M = \frac{A + C}{2}

De onde vem cada valor: AA = passo 1: 0 · CC = passo 1: 28

M=0+282=14M = \frac{0 + 28}{2} = 14
M=14M = \boxed{14}
NÃO CAIA NESSA!

Usar B em vez de C, ou inverter a ordem.

Passo 3 — Calcular a posição de N

N é o ponto médio de BM, então precisamos da média das posições de B e M.

Por que esta fórmula: Mesma lógica do ponto médio: média das coordenadas dos extremos.

N=B+M2N = \frac{B + M}{2}

De onde vem cada valor: BB = passo 1: 8 · MM = passo 2: 14

N=8+142=11N = \frac{8 + 14}{2} = 11
N=11N = \boxed{11}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir N como médio de AB, o que daria 4.

Passo 4 — Calcular a posição de P

P é o ponto médio de BC, então precisamos da média das posições de B e C.

Por que esta fórmula: Mesma lógica do ponto médio.

P=B+C2P = \frac{B + C}{2}

De onde vem cada valor: BB = passo 1: 8 · CC = passo 1: 28

P=8+282=18P = \frac{8 + 28}{2} = 18
P=18P = \boxed{18}
NÃO CAIA NESSA!

Usar A em vez de B, ou inverter a ordem.

Passo 5 — Subtrair as posições de N e P

A distância entre dois pontos na reta é a diferença entre suas coordenadas. Como P está à direita de N, subtraímos N de P.

Por que esta fórmula: Distância entre dois pontos na reta é o módulo da diferença das coordenadas.

NP=P−NNP = P - N

De onde vem cada valor: PP = passo 4: 18 · NN = passo 3: 11

NP=18−11=7=7 cmNP = 18 - 11 = 7 = \boxed{7\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário (N - P) e obter -7, ou usar medidas erradas.

Resposta: 7 cm (alternativa D)

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