Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas de Venn (Conjuntos) — FGV 2024

Conjuntos: Propriedades das Operações

Gabarito: letra A. A igualdade A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) é a propriedade distributiva da união em relação à interseção, uma das leis fundamentais da álgebra de conjuntos. As demais alternativas não representam identidades válidas.

{"tipo": "venn3", "rotulos": ["A", "B", "C"], "regioes": {"a": 10, "b": 8, "c": 6, "ab": 3, "ac": 2, "bc": 4, "abc": 1, "fora": 5}}

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a propriedade distributiva da união sobre a interseção. Para quaisquer conjuntos A, B e C, vale:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A demonstração pode ser feita por diagramas de Venn ou por dupla inclusão. Trata-se de um resultado clássico e verdadeiro.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A expressão B ∪ (A ∩ C) não é equivalente a (A ∩ B) ∪ (B ∩ C). Contraexemplo: A={1}, B={2}, C=∅. Lado esquerdo: {2}, lado direito: ∅. Portanto, a igualdade é falsa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

C ∩ (A ∪ B) não é igual a (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Esta última equivale a (A ∩ B) ∪ C, que em geral é diferente. Contraexemplo: A={1}, B={2}, C={3}: lado esquerdo = ∅, lado direito = {3}.

Alternativa D — ❌ Incorreta

B ∩ (A ∪ C) não é igual a (A ∪ B) ∩ (A ∩ C). O lado direito simplifica para A ∩ C. Contraexemplo: A={1}, B={1}, C={2}: lado esquerdo = {1}, lado direito = ∅.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A ∪ (B ∪ C) equivale a A ∪ B ∪ C, enquanto (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) equivale a A ∪ (B ∩ C). São diferentes. Contraexemplo: A={1}, B={2}, C={3}: lado esquerdo = {1,2,3}, lado direito = {1}.

Gabarito: letra A.