Questão de Matemática — Poliedros — FGV 2024

Área da superfície de um paralelepípedo

Gabarito: letra A. A área da superfície de um paralelepípedo é a soma das áreas de suas seis faces retangulares. Com as dimensões da caixa (15, 10 e x), a expressão é $2 \cdot (15 \cdot 10) + 2 \cdot (15 \cdot x) + 2 \cdot (10 \cdot x) = 300 + 50x$, que corresponde exatamente à alternativa A.

A área da superfície de um sólido geométrico é a medida total da região que o envolve. No caso do paralelepípedo, que é um prisma de base retangular, essa superfície é composta por seis faces, todas retangulares. Cada face é um retângulo, e a área de um retângulo é o produto de seus dois lados (base × altura). Como as faces opostas de um paralelepípedo são congruentes (têm as mesmas dimensões), a área total é a soma das áreas de três pares de faces iguais.

A fórmula geral para a área da superfície de um paralelepípedo de dimensões $a$, $b$ e $c$ é $A_s = 2(ab + bc + ca)$. Essa fórmula surge porque temos dois retângulos de área $ab$, dois de área $bc$ e dois de área $ca$. No problema, as dimensões são 15, 10 e $x$. Substituindo na fórmula, obtemos:

$A_s = 2(15 \cdot 10 + 15 \cdot x + 10 \cdot x) = 2(150 + 15x + 10x) = 2(150 + 25x) = 300 + 50x$.

A ordem em que multiplicamos as dimensões não altera o resultado, mas é importante identificar corretamente quais são os três pares de faces. Por exemplo, as faces de dimensões 15 e 10 têm área $15 \times 10 = 150$ cada uma, e como são duas, contribuem com $2 \times 150 = 300$. As faces de dimensões 15 e $x$ têm área $15x$ cada, contribuindo com $2 \times 15x = 30x$. As faces de dimensões 10 e $x$ têm área $10x$ cada, contribuindo com $2 \times 10x = 20x$. Somando tudo: $300 + 30x + 20x = 300 + 50x$.

A pegadinha desta questão está em esquecer de multiplicar por 2 a área de cada face, ou em não considerar todas as seis faces. O candidato apressado pode calcular apenas a área de três faces diferentes (150, 15x e 10x) e somá-las, obtendo $150 + 25x$, que corresponde à alternativa D. Outro erro comum é somar as áreas de apenas um par de faces, ou confundir a fórmula da área com a do volume ($V = a \cdot b \cdot c$).

Guarde o passo a passo: identifique as três dimensões, calcule a área de cada par de faces iguais e multiplique por 2. É exatamente esse raciocínio que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão $50x + 300$ é obtida corretamente: $2 \cdot (15 \cdot 10) + 2 \cdot (15 \cdot x) + 2 \cdot (10 \cdot x) = 300 + 30x + 20x = 300 + 50x$. Ela representa a soma das áreas das seis faces do paralelepípedo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A expressão $50x + 150$ tem o coeficiente de $x$ correto (50x), mas o termo constante está errado. O valor 150 corresponde à área de apenas um par de faces (as de dimensões 15 e 10), enquanto deveria ser 300 (dois pares). O candidato que escolheu esta opção provavelmente esqueceu de multiplicar a área desse par de faces por 2.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A expressão $25x + 300$ tem o termo constante correto (300), mas o coeficiente de $x$ está errado. O valor 25x surgiria se somássemos apenas um retângulo de cada tipo com a variável (15x + 10x), esquecendo que cada um deles aparece duas vezes na superfície. O correto é $2 \cdot (15x + 10x) = 50x$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A expressão $25x + 150$ é a soma das áreas de apenas três faces diferentes (150 + 15x + 10x), sem considerar que cada face tem uma oposta idêntica. É o erro mais comum: calcular a área de metade da superfície. O correto é multiplicar cada área por 2, resultando em $300 + 50x$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A expressão $10x + 150$ não corresponde a nenhuma combinação correta das áreas das faces. O termo $10x$ seria a área de apenas um retângulo de dimensões 10 e $x$, e o termo 150 a área de um retângulo de dimensões 15 e 10. Faltam todas as outras faces e os fatores 2.

Gabarito: letra A