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Questão de Matemática — MMC e MDC — FGV 2024

MatemáticaMMC e MDC
Código
fg102778
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de Caraguatatuba - SP
Ano
2024
Nível
Médio
Em uma data comemorativa, Sr. Damião decidiu montar saquinhos de guloseimas para distribuir às crianças vizinhas. Para isso, tinha disponíveis 300 balas, 90 paçocas e 150 pirulitos.Damião decidiu que cada saquinho devia conter balas, paçocas e pirulitos, distribuindo cada tipo de doce igualmente entre os saquinhos e sem que haja sobra de qualquer quantidade de doces. Decidiu ainda que distribuiria a maior quantidade possível de saquinhos.Cada saquinho terá então as seguintes quantidades de balas, de paçocas e de pirulitos, respectivamente:
  1. A3, 5 e 10.
  2. B6, 2 e 3.
  3. C6, 3 e 5.
  4. D10, 5 e 3.
  5. E10, 3 e 5.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 10, 3 e 5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a Cada saquinho terá 10 balas, 3 paçocas e 5 pirulitos, respectivamente. Alternativa E..

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) é o maior número que divide dois ou mais números ao mesmo tempo, sem deixar resto. Ele serve para repartir quantidades em partes iguais do maior tamanho possível, como dividir doces em saquinhos idênticos. Para calcular o MDC, decompomos cada número em fatores primos e multiplicamos os fatores comuns com os menores expoentes. Nesta questão, o número de saquinhos é o MDC entre 300, 90 e 150, e as quantidades em cada saquinho são obtidas dividindo cada total por esse MDC.

O que a questão dá

  • 300 balas

  • 90 paçocas

  • 150 pirulitos

O que queremos: a quantidade de balas, paçocas e pirulitos em cada saquinho, sabendo que o número de saquinhos é o maior possível

Passo 1 — Decompor cada número em fatores primos

Para calcular o MDC, precisamos primeiro escrever cada número como produto de primos. Isso revela quais fatores são comuns e com quais expoentes, permitindo encontrar o maior divisor comum.

Por que esta fórmula: A decomposição em fatores primos é o método padrão para achar o MDC: dividimos o número pelos menores primos possíveis até sobrar 1.

300=22×3×5290=2×32×5150=2×3×52300 = 2^{2} \times 3 \times 5^{2} \\ 90 = 2 \times 3^{2} \times 5 \\ 150 = 2 \times 3 \times 5^{2}

De onde vem cada valor: 300300 = enunciado: 300 balas · 9090 = enunciado: 90 paçocas · 150150 = enunciado: 150 pirulitos

300=22×3×5290=2×32×5150=2×3×52300 = 2^{2} \times 3 \times 5^{2} \\ 90 = 2 \times 3^{2} \times 5 \\ 150 = 2 \times 3 \times 5^{2}

300 = 2² × 3 × 5²; 90 = 2 × 3² × 5; 150 = 2 × 3 × 5²

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de decompor completamente, por exemplo, parar em 300 = 2 × 150, sem chegar aos primos.

Passo 2 — Identificar os fatores comuns com menores expoentes

O MDC é formado apenas pelos fatores que aparecem em todos os números, cada um com o menor expoente que aparece. Isso garante que o divisor seja comum e o maior possível.

Por que esta fórmula: A regra do MDC: pegar os fatores primos comuns e multiplicá-los com os menores expoentes. Fatores que não aparecem em todos são descartados.

MDC=21×31×51MDC = 2^{1} \times 3^{1} \times 5^{1}

De onde vem cada valor: 212^{1} = passo 1: fator 2 comum, menor expoente é 1 (em 90 e 150) · 313^{1} = passo 1: fator 3 comum, menor expoente é 1 (em 300 e 150) · 515^{1} = passo 1: fator 5 comum, menor expoente é 1 (em 90)

MDC=2×3×5MDC = 2 \times 3 \times 5
MDC=30MDC = \boxed{30}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o maior expoente em vez do menor, o que daria 2² × 3² × 5² = 900, um divisor comum? Não, pois 900 não divide 90.

Passo 3 — Dividir cada quantidade pelo MDC

O MDC (30) é o número máximo de saquinhos que podemos fazer. Para saber quantos doces de cada tipo vão em cada saquinho, dividimos o total de cada doce por esse número.

Por que esta fórmula: Se temos 300 balas e 30 saquinhos, cada saquinho recebe 300 ÷ 30 = 10 balas. O mesmo vale para os outros doces.

balas por saquinho=30030pac¸ocas por saquinho=9030pirulitos por saquinho=15030\text{balas por saquinho} = \frac{300}{30} \\ \text{paçocas por saquinho} = \frac{90}{30} \\ \text{pirulitos por saquinho} = \frac{150}{30}

De onde vem cada valor: 300300 = enunciado: 300 balas · 9090 = enunciado: 90 paçocas · 150150 = enunciado: 150 pirulitos · 3030 = passo 2: MDC = 30

balas=30030=10pac¸ocas=9030=3pirulitos=15030=5\text{balas} = \frac{300}{30} = 10 \\ \text{paçocas} = \frac{90}{30} = 3 \\ \text{pirulitos} = \frac{150}{30} = 5

balas\text{balas} = 10 balas, 3 paçocas, 5 pirulitos

NÃO CAIA NESSA!

Dividir na ordem errada, por exemplo, 300 ÷ 30 = 10, mas trocar os resultados de paçocas e pirulitos.

Resposta: Cada saquinho terá 10 balas, 3 paçocas e 5 pirulitos, respectivamente. Alternativa E.

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