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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2024

MatemáticaProbabilidade
Código
fg102831
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de Cuiabá - MT
Ano
2024
Nível
Superior
Quando uma semente de girassol é plantada, a probabilidade de que ela germine é de 60%. Se forem plantadas 5 dessas sementes, a probabilidade de que a maioria delas germine é
  1. A2133/55.
  2. B1533/55.
  3. C1053/55.
  4. D813/55.
  5. E513/55.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 2133/55.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 2133/3125, alternativa A.

A ideia por trás

A distribuição binomial descreve o número de sucessos em um número fixo de experimentos independentes, cada um com dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) e probabilidade de sucesso constante. Aqui, cada semente é um experimento de Bernoulli: germinar (sucesso, p = 0,6) ou não germinar (fracasso, q = 0,4). Como as sementes são independentes, o número de germinações X segue uma binomial com n = 5 e p = 0,6. A probabilidade de exatamente k sucessos é dada por P(X = k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k). Nesta questão, 'maioria' significa pelo menos 3 germinações, então precisamos somar as probabilidades de 3, 4 e 5 sucessos.

O que a questão dá

  • n = 5 sementes

  • p = 0,6 (probabilidade de germinar)

  • q = 0,4 (probabilidade de não germinar)

O que queremos: a probabilidade de que a maioria das 5 sementes germine, ou seja, P(X ≥ 3)

Passo 1 — Identificar os parâmetros da binomial

Para usar a fórmula da binomial, precisamos saber quantas tentativas (n), a probabilidade de sucesso (p) e a de fracasso (q). Aqui, cada semente é uma tentativa independente, e germinar é o sucesso.

Por que esta fórmula: A distribuição binomial é adequada porque temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis e probabilidade de sucesso constante.

n=5,p=0,6,q=1−p=0,4n = 5, p = 0{,}6, q = 1 - p = 0{,}4

De onde vem cada valor: nn = enunciado: 5 sementes · pp = enunciado: 60% = 0,6 · qq = calculado: 1 - 0,6 = 0,4

n=5,p=0,6,q=0,4n = 5, p = 0{,}6, q = 0{,}4

n = 5, p = 0,6, q = 0,4

NÃO CAIA NESSA!

Confundir p e q: usar 0,4 como probabilidade de germinar.

Passo 2 — Calcular a probabilidade de exatamente 3 germinarem

A maioria de 5 é pelo menos 3, então precisamos calcular P(X=3), P(X=4) e P(X=5) e somar. Começamos com k=3.

Por que esta fórmula: A fórmula da binomial dá a probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas: combinação de n escolhe k vezes p^k vezes q^(n-k).

P(X=3)=(53)⋅(0,6)3⋅(0,4)2P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot (0{,}6)^{3} \cdot (0{,}4)^{2}

De onde vem cada valor: (53)\binom{5}{3} = combinação de 5 escolhe 3 = 10 · (0,6)3(0{,}6)^{3} = probabilidade de 3 germinarem · (0,4)2(0{,}4)^{2} = probabilidade de 2 não germinarem

P(X=3)=10⋅0,216⋅0,16=0,3456P(X = 3) = 10 \cdot 0{,}216 \cdot 0{,}16 = \boxed{0{,}3456}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar pela combinação ou usar expoentes trocados.

Passo 3 — Calcular a probabilidade de exatamente 4 germinarem

Precisamos incluir o caso de 4 germinações, pois também é maioria.

Por que esta fórmula: Mesma fórmula binomial, agora com k=4.

P(X=4)=(54)⋅(0,6)4⋅(0,4)1P(X = 4) = \binom{5}{4} \cdot (0{,}6)^{4} \cdot (0{,}4)^{1}

De onde vem cada valor: (54)\binom{5}{4} = combinação de 5 escolhe 4 = 5 · (0,6)4(0{,}6)^{4} = probabilidade de 4 germinarem · (0,4)1(0{,}4)^{1} = probabilidade de 1 não germinar

P(X=4)=5⋅0,1296⋅0,4=0,2592P(X = 4) = 5 \cdot 0{,}1296 \cdot 0{,}4 = \boxed{0{,}2592}
NÃO CAIA NESSA!

Usar expoente errado: (0,6)^3 em vez de (0,6)^4.

Passo 4 — Calcular a probabilidade de exatamente 5 germinarem

O caso de todas as 5 germinarem também conta como maioria.

Por que esta fórmula: Com k=5, a combinação é 1 e o termo (0,4)^0 = 1.

P(X=5)=(55)⋅(0,6)5⋅(0,4)0P(X = 5) = \binom{5}{5} \cdot (0{,}6)^{5} \cdot (0{,}4)^{0}

De onde vem cada valor: (55)\binom{5}{5} = combinação de 5 escolhe 5 = 1 · (0,6)5(0{,}6)^{5} = probabilidade de 5 germinarem · (0,4)0(0{,}4)^{0} = qualquer número elevado a 0 é 1

P(X=5)=1⋅0,07776⋅1=0,07776P(X = 5) = 1 \cdot 0{,}07776 \cdot 1 = \boxed{0{,}07776}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que (0,4)^0 = 1 e multiplicar por 0,4.

Passo 5 — Somar as probabilidades de 3, 4 e 5

A probabilidade de a maioria germinar é a soma das probabilidades de 3, 4 ou 5 germinações, pois são eventos mutuamente exclusivos.

Por que esta fórmula: Como os eventos são disjuntos, a probabilidade da união é a soma das probabilidades individuais.

P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

De onde vem cada valor: P(X=3)P(X = 3) = passo 2 · P(X=4)P(X = 4) = passo 3 · P(X=5)P(X = 5) = passo 4

P(X≥3)=0,3456+0,2592+0,07776=0,68256P(X \geq 3) = 0{,}3456 + 0{,}2592 + 0{,}07776 = \boxed{0{,}68256}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar um dos termos, por exemplo, só calcular P(X=3).

Passo 6 — Converter a probabilidade para fração

As alternativas estão em frações com denominador 55, mas a resposta correta tem denominador 3125. Precisamos expressar o resultado como fração para comparar.

Por que esta fórmula: A soma das frações com denominador 3125 resulta em 2133/3125, que é a forma exata.

P(X≥3)=1080+810+2433125=21333125P(X \geq 3) = \frac{1080 + 810 + 243}{3125} = \frac{2133}{3125}

De onde vem cada valor: 10801080 = passo 2: 10274 = 1080 · 810810 = passo 3: 5812 = 810 · 243243 = passo 4: 1*243 = 243 · 31253125 = 5^5 = 3125

P(X≥3)=1080+810+2433125=2133 /3125P(X \geq 3) = \frac{1080 + 810 + 243}{3125} = \boxed{2133\ /3125}
NÃO CAIA NESSA!

Tentar simplificar a fração para denominador 55, o que não é possível diretamente.

Resposta: 2133/3125, alternativa A

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