Questão de Matemática — Matrizes — FGV 2024

Álgebra Linear — Matrizes e Soma de Elementos

Gabarito: letra A. A soma de todos os elementos de uma matriz $11 \times 11$ definida pela regra dada é igual a 60, pois a matriz possui um total de 121 elementos, sendo 60 deles iguais a 1 e 61 iguais a 0.

Para resolver esta questão, devemos analisar a paridade da soma dos índices $L$ (linha) e $C$ (coluna). A matriz possui $11$ linhas e $11$ colunas, totalizando $11 \times 11 = 121$ elementos. A regra define que o elemento vale 1 se $L+C$ for ímpar e 0 se $L+C$ for par.

Análise da Distribuição dos Elementos

Podemos visualizar a paridade de $L+C$ como um tabuleiro de xadrez:

• Se $L$ é ímpar e $C$ é par, $L+C$ é ímpar (valor 1).

• Se $L$ é par e $C$ é ímpar, $L+C$ é ímpar (valor 1).

• Se $L$ e $C$ são ambos ímpares, $L+C$ é par (valor 0).

• Se $L$ e $C$ são ambos pares, $L+C$ é par (valor 0).

Em uma matriz $11 \times 11$, temos:

• Linhas ímpares ($1, 3, 5, 7, 9, 11$): 6 linhas.

• Linhas pares ($2, 4, 6, 8, 10$): 5 linhas.

• Colunas ímpares ($1, 3, 5, 7, 9, 11$): 6 colunas.

• Colunas pares ($2, 4, 6, 8, 10$): 5 colunas.

Os elementos iguais a 1 ocorrem quando ($L$ ímpar e $C$ par) ou ($L$ par e $C$ ímpar):

1. ($L$ ímpar, $C$ par): $6 \text{ linhas} \times 5 \text{ colunas} = 30$ elementos.

2. ($L$ par, $C$ ímpar): $5 \text{ linhas} \times 6 \text{ colunas} = 30$ elementos.

Somando as duas possibilidades, temos $30 + 30 = 60$ elementos iguais a 1. Como os demais elementos são 0, a soma total é $60 \times 1 + 61 \times 0 = 60$.

Gabarito: letra A.