Questão de Raciocínio Lógico — Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares — FGV 2024
Raciocínio Lógico›Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
Código
fg102972
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de Macaé - RJ
Ano
2024
Nível
Superior
Considere todas as matrizes 4 X 4 tais que:– todos os elementos são números inteiros e positivos;– qualquer que seja a linha, a soma dos elementos é 5;– qualquer que seja a coluna, a soma dos elementos é 5;– o elemento da 1ª linha e 1ª coluna vale 2.A quantidade total de matrizes que satisfazem a todas essas condições é
A8.
B6.
C4.
D3.
E2.
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GabaritoB — 6.
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Matrizes com restrições de soma
Gabarito: letra B (6). A matriz 4x4 possui elementos inteiros positivos, cada linha e coluna soma 5, e o elemento a11 vale 2. Isso determina a primeira linha e primeira coluna como [2,1,1,1]. A submatriz 3x3 restante (linhas 2-4, colunas 2-4) deve ter cada linha somando 4 e cada coluna somando 4, com entradas positivas. Esse problema se reduz a contar matrizes de permutação 3x3, que são exatamente 6.
Alternativa A — ❌ Incorreta (8)
O raciocínio que leva a 8 geralmente considera as linhas independentemente, ignorando a restrição das colunas. As combinações totais sem a condição de colunas seriam 3³ = 27, mas a restrição das colunas reduz para 6.
Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A submatriz 3x3 pode ser transformada subtraindo 1 de cada entrada: obtém-se uma matriz de permutação (um 1 em cada linha e coluna). O número de permutações de 3 elementos é 3! = 6, cada uma gerando uma matriz 4x4 válida. Portanto, há exatamente 6 matrizes.
Alternativa C — ❌ Incorreta (4)
4 seria o resultado se houvesse mais restrições (ex.: simetria), mas não é o caso. O total de 6 é confirmado pela contagem combinatória correta.
Alternativa D — ❌ Incorreta (3)
3 seria o número de matrizes 3x3 com soma 4 se o valor 2 estivesse fixo em uma diagonal, mas não há tal fixação.
Alternativa E — ❌ Incorreta (2)
2 é um número muito baixo. A contagem mínima seria 2 apenas se houvesse simetria total, o que não ocorre.
PEGA ESSA DICA!
Ao resolver problemas de matrizes com somas fixas, converta para uma matriz de variáveis não negativas subtraindo o valor mínimo (1) de cada entrada. A nova matriz terá somas menores e frequentemente será uma matriz de permutação, cujo número é o fatorial da ordem. Essa técnica simplifica a contagem.