Questão de Raciocínio Lógico — Problemas Lógicos — FGV 2024
Raciocínio Lógico›Problemas Lógicos
Código
fg102978
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de Macaé - RJ
Ano
2024
Nível
Superior
A, B, C e D são pontos distintos do plano. Há um único caminho ligando A e B, um único caminho ligando A e D, um único caminho ligando B e C e um único caminho ligando B e D. Não há caminho ligando A e C e nem caminho ligando C e D.É possível passar pelos 4 pontos e pelos 4 caminhos, sem repetir qualquer dos caminhos, começando e terminando, respectivamente, em
AA e C.
BA e D
CB e C.
DB e D.
EC e D.
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GabaritoC — B e C.
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Problema de caminhos entre pontos
Gabarito: letra C. A única possibilidade de percorrer todos os 4 caminhos sem repeti‑los, passando pelos 4 pontos, é começar em B e terminar em C (ou vice‑versa). Isso decorre da teoria dos grafos: num grafo que representa os pontos (vértices) e os caminhos (arestas), um percurso que usa cada aresta exatamente uma vez (caminho Euleriano) só existe se houver exatamente 0 ou 2 vértices de grau ímpar. Aqui, os graus são: A=2, B=3, C=1, D=2 — os ímpares são B e C, portanto o percurso deve começar e terminar neles.
Vamos modelar a situação como um grafo de 4 vértices (A, B, C, D) e 4 arestas:
Aresta AB
Aresta AD
Aresta BC
Aresta BD
Não há arestas AC nem CD. Contamos o grau (número de arestas incidentes) de cada vértice:
A: arestas AB e AD → grau 2
B: arestas AB, BC, BD → grau 3
C: aresta BC → grau 1
D: arestas AD, BD → grau 2
Condição do caminho Euleriano
Para um grafo não direcionado, existe um caminho que percorre cada aresta exatamente uma vez (caminho Euleriano) se e somente se exatamente 0 ou 2 vértices possuem grau ímpar. Quando há 2 vértices ímpares, o caminho deve começar em um deles e terminar no outro.
Aqui temos dois vértices ímpares: B (grau 3) e C (grau 1). Portanto, qualquer percurso que use todos os 4 caminhos sem repetição deve começar em B e terminar em C (ou começar em C e terminar em B).
Verificação prática
Um exemplo de percurso: B → A (usa AB), A → D (usa AD), D → B (usa BD), B → C (usa BC). Começa em B, termina em C, percorreu todos os 4 caminhos, passou pelos 4 pontos, sem repetir qualquer caminho.
Análise das alternativas
A) A e C: Começar em A e terminar em C não funciona, pois A tem grau par (2) e C tem grau ímpar (1); um caminho Euleriano com 2 ímpares deve começar num ímpar.
B) A e D: Ambos grau par; não podem ser início e fim quando há dois ímpares.
C) B e C: ✅ Correta – exatamente os dois vértices de grau ímpar.
D) B e D: B é ímpar, D é par; não funciona (os dois pontos extremos devem ser os ímpares).
E) C e D: C é ímpar, D é par; idem.
PEGA ESSA DICA!
Em problemas de percorrer todos os caminhos sem repetir, pense em graus dos vértices. Se houver mais de 2 vértices com número ímpar de ligações, é impossível. Na prova, desenhe rapidamente o grafo e conte as arestas de cada ponto.