Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg102982

Matrizes 2×2 com elementos em {–1, 0, 1} e soma positiva

Gabarito: letra A. Uma matriz 2×2 tem 4 elementos, cada um valendo –1, 0 ou 1. Para a soma ser positiva, o número de elementos 1 deve superar o número de elementos –1. A alternativa A afirma que é possível ter a mesma quantidade de 0 e de –1 — e isso é verdade, como mostra o exemplo $ $\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 1 & -1 \end{bmatrix}$ $ (soma = 1). As demais alternativas impõem condições que ou são impossíveis ou não são obrigatórias.

Vamos entender o problema. Temos 4 posições, cada uma preenchida com um dos três valores. A soma total é:

S = (\text{nº de 1}) \cdot 1 + (\text{nº de 0}) \cdot 0 + (\text{nº de –1}) \cdot (–1) = n_1 - n_{-1}

Como $n_1 + n_0 + n_{-1} = 4$ , a condição $S > 0$ equivale a $n_1 > n_{-1}$ . Ou seja, a quantidade de elementos 1 deve ser estritamente maior que a quantidade de elementos –1. Os zeros são neutros: não ajudam nem atrapalham a soma, apenas ocupam posições.

A pegadinha da banca está em testar se o candidato percebe que os zeros não influenciam a soma — eles apenas reduzem o número de posições disponíveis para 1 e –1. Muitos candidatos tentam resolver por tentativa e erro sem enxergar essa simplificação.

Caso	Atribuição (n₁, n₀, n₋₁)	Soma = n₁ − n₋₁	Resultado
A (exemplo)	(2, 1, 1)	1	Consistente (n₀ = n₋₁)
B	(n₁ = n₋₁)	0	Contradição (soma não é positiva)
C (exemplo)	(1, 3, 0)	1	Consistente (três zeros)
D	(n₁ ≤ 2, n₋₁ = 2)	≤ 0	Inviável (soma máxima = 0)
E (contraexemplo)	(3, 1, 0)	3	Consistente (n₀ > n₋₁ é falso)

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

É possível ter a mesma quantidade de 0 e de –1. Por exemplo, a matriz:

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

tem dois elementos 1, um 0 e um –1. A soma é $1 + 0 + 1 + (–1) = 1 > 0$ . Aqui, $n_0 = 1$ e $n_{-1} = 1$ — mesma quantidade. A condição $n_1 > n_{-1}$ é satisfeita (2 > 1). Portanto, a afirmação é verdadeira.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que pode ter a mesma quantidade de 1 e de –1. Se $n_1 = n_{-1}$ , então a soma seria $n_1 - n_{-1} = 0$ , que não é positiva. Para a soma ser positiva, é necessário $n_1 > n_{-1}$ . Logo, é impossível ter a mesma quantidade de 1 e de –1.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que não pode ter três elementos 0. Isso é falso: se três elementos são 0, resta apenas uma posição para preencher com 1 ou –1. Para a soma ser positiva, essa posição deve ser 1. Exemplo: $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ tem soma 1 > 0. Portanto, é perfeitamente possível ter três zeros.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que pode ter dois elementos –1. Se houver dois –1, a soma desses dois elementos já é –2. Para a soma total ser positiva, seria necessário que os outros dois elementos somassem pelo menos 3, mas o máximo que cada um pode valer é 1, então a soma máxima dos outros dois é 2. Assim, a soma total máxima seria $–2 + 2 = 0$ , que não é positiva. Logo, é impossível ter dois elementos –1.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que tem que ter mais 0 do que –1. Isso não é obrigatório. Por exemplo, a matriz $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ tem soma 3 > 0, com $n_0 = 1$ e $n_{-1} = 0$ — não há mais zeros do que –1. A condição necessária e suficiente é apenas $n_1 > n_{-1}$ ; a quantidade de zeros é irrelevante.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a condição necessária ( $n_1 > n_{-1}$ ) e condições que parecem razoáveis mas não são obrigatórias (como ter mais zeros do que –1). Lembre-se: os zeros são neutros na soma, então a única regra é que o número de 1 deve superar o número de –1.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver rapidamente, teste sempre um exemplo concreto. Monte uma matriz com os valores e calcule a soma. Se a alternativa diz "pode", basta encontrar um exemplo; se diz "tem que", procure um contraexemplo.

Gabarito: letra A