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Questão de Matemática — Geometria Plana — FGV 2024

MatemáticaGeometria Plana
Código
fg103179
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de São José dos Campos - SP
Ano
2024
Nível
Superior
O diâmetro de uma circunferência em um sistema de coordenadas cartesianas tem extremidades (0, 0) e (6, 8).Além do ponto (0, 0), essa circunferência corta o eixo-X em um outro ponto, de coordenadas (b, 0).O valor de b é
  1. A2√2 .
  2. B4√2 .
  3. C6.
  4. D8.
  5. E10.
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GabaritoC — 6.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a b = 6, alternativa C.

A ideia por trás

A circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância (o raio) de um ponto fixo (o centro). No plano cartesiano, essa definição vira uma equação: (x - h)² + (y - k)² = r², onde (h, k) é o centro e r é o raio. O diâmetro é o dobro do raio, e o centro é o ponto médio do diâmetro. Para achar onde a circunferência corta um eixo, substituímos a coordenada do eixo (y = 0 para o eixo-X) na equação e resolvemos. Nesta questão, precisamos achar o centro e o raio a partir das extremidades do diâmetro, montar a equação e então encontrar as interseções com o eixo-X.

O que a questão dá

  • extremidades do diâmetro: (0, 0) e (6, 8)

  • a circunferência corta o eixo-X em (0, 0) e (b, 0)

O que queremos: o valor de b, a abscissa do outro ponto de interseção com o eixo-X

Passo 1 — Achar o centro da circunferência

O centro é o ponto médio do diâmetro, pois o diâmetro é um segmento que passa pelo centro e tem extremidades na circunferência. O ponto médio divide o segmento ao meio, então ele é o centro.

Por que esta fórmula: A fórmula do ponto médio é a média das coordenadas: para x, somamos as abscissas e dividimos por 2; para y, somamos as ordenadas e dividimos por 2.

C=(x1+x22,y1+y22)C = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)

De onde vem cada valor: x1x_1 = enunciado: 0 · y1y_1 = enunciado: 0 · x2x_2 = enunciado: 6 · y2y_2 = enunciado: 8

C=(0+62,0+82)C = \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 8}{2} \right)
C=(3,4)C = \boxed{(3, 4)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2 e usar (6, 8) como centro.

Passo 2 — Calcular o comprimento do diâmetro

Precisamos do raio para montar a equação da circunferência. O diâmetro é a distância entre as extremidades, e o raio é a metade disso.

Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos no plano é a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças das coordenadas, que vem do teorema de Pitágoras.

d = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)

De onde vem cada valor: x1x_1 = enunciado: 0 · y1y_1 = enunciado: 0 · x2x_2 = enunciado: 6 · y2y_2 = enunciado: 8

d = √((6 - 0)^2 + (8 - 0)^2 = √(36 + 64) = √(100))
d=10d = \boxed{10}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a distância como raio, mas ela é o diâmetro.

Passo 3 — Obter o raio como metade do diâmetro

A equação da circunferência usa o raio, não o diâmetro. O raio é a distância do centro até qualquer ponto da circunferência, e o diâmetro é o dobro.

Por que esta fórmula: Por definição, o diâmetro é duas vezes o raio, então o raio é a metade do diâmetro.

r=d2r = \frac{d}{2}

De onde vem cada valor: dd = passo 2: 10

r=102r = \frac{10}{2}
r=5r = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 10 como raio, o que quadruplica o valor na equação.

Passo 4 — Montar a equação da circunferência

Com o centro e o raio, podemos escrever a equação que descreve todos os pontos da circunferência. Essa equação nos permitirá achar as interseções com o eixo-X.

Por que esta fórmula: A equação reduzida da circunferência é (x - h)² + (y - k)² = r², onde (h, k) é o centro e r o raio. Ela vem da definição de distância constante ao centro.

(x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}

De onde vem cada valor: hh = passo 1: 3 · kk = passo 1: 4 · rr = passo 3: 5

(x−3)2+(y−4)2=52(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 5^{2}
(x−3)2+(y−4)2=25(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = \boxed{25}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar o raio ao quadrado, escrevendo 5 em vez de 25.

Passo 5 — Substituir y por zero para achar interseções com o eixo-X

No eixo-X, todos os pontos têm y = 0. Substituindo y = 0 na equação, encontramos os valores de x onde a circunferência cruza o eixo.

Por que esta fórmula: A equação da circunferência relaciona x e y; fixando y = 0, sobra uma equação só em x, que resolvemos.

(x−3)2+(0−4)2=25(x - 3)^{2} + (0 - 4)^{2} = 25

De onde vem cada valor: xx = incógnita · 00 = condição do eixo-X · 44 = passo 1: coordenada y do centro · 2525 = passo 4

(x−3)2+16=25(x - 3)^{2} + 16 = 25
(x−3)2=9(x - 3)^{2} = \boxed{9}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar (0-4) ao quadrado, usando -4.

Passo 6 — Resolver a equação para x

Agora temos uma equação do segundo grau simples. Precisamos achar os valores de x que satisfazem, lembrando que há duas soluções.

Por que esta fórmula: Se a² = b, então a = ±√b. Aqui, (x-3)² = 9, então x-3 = ±3.

x−3=±9x - 3 = \pm \sqrt{9}

De onde vem cada valor: x−3x - 3 = passo 5 · 99 = passo 5

x−3=±3x - 3 = \pm 3

x = 0 ou x = 6

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a solução negativa, achando só x = 6, mas o problema já dá (0,0).

Passo 7 — Identificar o outro ponto de interseção

As duas soluções são as abscissas dos pontos onde a circunferência corta o eixo-X. Como (0,0) já é dado, o outro ponto é o que tem x = 6.

b=6b = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir as coordenadas e achar que b é 8 (a ordenada da extremidade).

Resposta: b = 6, alternativa C

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