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Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — FGV 2024

MatemáticaÁreas e Perímetros
Código
fg103180
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de São José dos Campos - SP
Ano
2024
Nível
Superior
A razão entre as medidas dos lados de um retângulo é 4/5 . Sendo d a medida da diagonal desse retângulo, a sua área pode ser expressa por kd² , onde k é uma constante.O valor de k é
  1. A5/9.
  2. B25/81.
  3. C21/25.
  4. D15/31.
  5. E20/41.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 20/41.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a k = 20/41, alternativa E..

A ideia por trás

A área de um retângulo é o produto de seus lados, e a diagonal, pelo Teorema de Pitágoras, relaciona os lados com a hipotenusa do triângulo retângulo que ela forma. Quando conhecemos a razão entre os lados, podemos representá-los por 4x e 5x, o que permite calcular a diagonal em função de x e depois expressar a área em função da diagonal. A constante k surge da comparação entre a área e o quadrado da diagonal.

O que a questão dá

  • razão entre os lados = 4/5

  • diagonal = d

O que queremos: o valor da constante k na expressão da área A = k·d²

Passo 1 — Representar os lados do retângulo

Como a razão entre os lados é 4/5, podemos escrevê-los como 4x e 5x, onde x é um fator de proporcionalidade. Isso transforma a razão em uma relação algébrica que podemos usar nas fórmulas.

Por que esta fórmula: A razão 4/5 significa que um lado é 4 partes e o outro é 5 partes, então multiplicamos por x para obter as medidas reais.

l1=4x,  l2=5xl_1 = 4x, \; l_2 = 5x

De onde vem cada valor: l1l_1 = enunciado: razão 4/5 · l2l_2 = enunciado: razão 4/5 · xx = fator de proporcionalidade (qualquer número positivo)

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que x é um fator comum e tentar usar 4 e 5 diretamente como lados, o que só funcionaria se a razão fosse exata.

Passo 2 — Calcular a diagonal com Pitágoras

A diagonal divide o retângulo em dois triângulos retângulos, então o Teorema de Pitágoras relaciona os lados com a diagonal. Precisamos dessa relação para depois expressar a área em função de d.

Por que esta fórmula: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Aqui, a diagonal é a hipotenusa e os lados são os catetos.

d2=(4x)2+(5x)2d^{2} = (4x)^{2} + (5x)^{2}

De onde vem cada valor: dd = enunciado: diagonal · 4x4x = passo 1 · 5x5x = passo 1

d2=(4x)2+(5x)2=16x2+25x2=41x2d^{2} = (4x)^{2} + (5x)^{2} = 16x^{2} + 25x^{2} = 41x^{2}
d=x41d = \boxed{x\sqrt{41}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado os coeficientes 4 e 5, escrevendo (4x)^2 = 4x^2 em vez de 16x^2.

Passo 3 — Calcular a área do retângulo

A área é o produto dos lados, e já temos os lados em função de x. Precisamos dela para depois comparar com d².

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é base vezes altura, que aqui são os lados 4x e 5x.

A=(4x)⋅(5x)A = (4x) \cdot (5x)

De onde vem cada valor: 4x4x = passo 1 · 5x5x = passo 1

A=4x⋅5x=20x2A = 4x \cdot 5x = 20x^{2}
A=20 x2A = \boxed{20\ \text{x}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar os coeficientes errado, por exemplo 4·5 = 20, mas esquecer de multiplicar x·x = x².

Passo 4 — Isolar x na expressão da diagonal

Para substituir na área, precisamos de x em função de d. Da diagonal temos d = x√41, então isolamos x.

Por que esta fórmula: Dividindo ambos os lados por √41, obtemos x = d/√41.

x=d41x = \frac{d}{\sqrt{41}}

De onde vem cada valor: dd = enunciado: diagonal · 41\sqrt{41} = passo 2: d = x√41

x=d41x = \boxed{\frac{d}{\sqrt{41}}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a divisão, escrevendo x = √41/d.

Passo 5 — Substituir x na área

Agora que temos x em função de d, substituímos na área para obter A em função de d².

Por que esta fórmula: Substituição direta: onde havia x, colocamos d/√41.

A=20(d41)2A = 20 \left(\frac{d}{\sqrt{41}}\right)^{2}

De onde vem cada valor: 2020 = passo 3: A = 20x² · d41\frac{d}{\sqrt{41}} = passo 4

A = 20 · fracd^241 = (20)/(41)d^2
A=2041d2A = \boxed{\frac{20}{41}d^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado o denominador √41, resultando em 20d²/√41.

Resposta: k = 20/41, alternativa E.

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