Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg103206

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 12 (alternativa D).

A ideia por trás

A distância entre dois pontos no plano cartesiano é o comprimento do segmento de reta que os une, calculado pela fórmula da distância euclidiana. Para um ponto externo a uma circunferência, o ponto da circunferência mais afastado está sobre a reta que liga esse ponto ao centro, a uma distância igual à distância do ponto ao centro somada ao raio. Nesta questão, a origem é o ponto externo e o centro é (3,4); precisamos calcular a distância da origem ao centro e somar o raio.

O que a questão dá

centro da circunferência = (3, 4)
raio = 7
origem = (0, 0)

O que queremos: a distância do ponto da circunferência mais afastado da origem até a origem

Passo 1 — Calcular a distância da origem ao centro

Precisamos saber o quanto a origem está longe do centro da circunferência, pois o ponto mais afastado estará na mesma direção, além do centro. A distância entre dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) é dada pela fórmula da distância euclidiana, que vem do teorema de Pitágoras: é a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças das coordenadas.

Por que esta fórmula: Usamos a fórmula da distância entre dois pontos porque queremos o comprimento do segmento que liga a origem ao centro. Não há outra relação geométrica direta aqui.

d = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)

De onde vem cada valor: $x_1$ = enunciado: origem (0, 0) · $y_1$ = enunciado: origem (0, 0) · $x_2$ = enunciado: centro (3, 4) · $y_2$ = enunciado: centro (3, 4)

d = sqrt(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2 = 5

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado antes de somar, ou inverter a ordem das coordenadas.

Passo 2 — Somar o raio à distância do centro

O ponto da circunferência mais afastado da origem está na mesma direção do centro, prolongando o segmento que liga a origem ao centro. Assim, a distância máxima é a distância da origem ao centro mais o raio. Isso porque, ao caminhar da origem em direção ao centro e continuar além dele por uma distância igual ao raio, chegamos ao ponto mais distante da circunferência.

Por que esta fórmula: A distância máxima é a soma da distância do ponto externo ao centro com o raio, pois o ponto mais afastado está na mesma direção do centro. Não é subtração, pois o ponto mais afastado está além do centro.

d_{max} = d + r

De onde vem cada valor: $d$ = passo 1: 5 · $r$ = enunciado: raio = 7

d_{max} = 5 + 7 = \boxed{12}

NÃO CAIA NESSA!

Subtrair o raio (5 - 7 = -2) ou usar apenas a distância do centro (5).

Resposta: 12 (alternativa D)