Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg103211

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a CP = 6 m (alternativa B).

A ideia por trás

Um quadrilátero com dois ângulos retos consecutivos é um trapézio retângulo: tem dois lados paralelos (as bases) e uma altura perpendicular a eles. A área de um trapézio é a média das bases vezes a altura, e isso permite calcular a área total do terreno. Quando uma cerca liga dois pontos e divide a figura em duas partes de mesma área, cada parte deve ter exatamente metade da área total. Nesta questão, a cerca AP divide o trapézio em um triângulo (ABP) e um quadrilátero (BCDP); igualar a área do triângulo à metade da área total é o caminho para achar CP.

O que a questão dá

AB = 22 m
BC = 20 m
CD = 34 m
ângulos B e C são retos

O que queremos: o comprimento CP

Passo 1 — Calcular a área total do trapézio

Precisamos saber a área total do terreno para depois dividir ao meio. Como o quadrilátero tem dois ângulos retos consecutivos, ele é um trapézio retângulo, e a área é dada pela fórmula do trapézio.

Por que esta fórmula: A fórmula da área do trapézio é A = (B + b) · h / 2, onde B e b são as bases paralelas e h é a altura. Aqui, as bases são CD (34 m) e AB (22 m), e a altura é BC (20 m), pois BC é perpendicular às bases.

A_{ABCD} = \frac{(CD + AB) \cdot BC}{2}

De onde vem cada valor: $CD$ = enunciado: 34 m · $AB$ = enunciado: 22 m · $BC$ = enunciado: 20 m

A_{ABCD} = \frac{(34 + 22) \cdot 20}{2} = \boxed{560\ \text{m}^{2}}

NÃO CAIA NESSA!

Trocar as bases ou usar a altura errada; lembre que a altura é o lado perpendicular às bases, que é BC.

Passo 2 — Dividir a área total por dois

A cerca divide o terreno em duas partes de mesma área, então cada parte deve ter metade da área total. Isso nos dá o valor que a área do triângulo ABP deve ter.

Por que esta fórmula: Metade de um valor é obtida dividindo por 2.

A_{metade} = \frac{A_{ABCD}}{2}

De onde vem cada valor: $A_{ABCD}$ = passo 1: 560 m²

A_{metade} = \frac{560}{2} = \boxed{280\ \text{m}^{2}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir e usar a área total como se fosse a metade.

Passo 3 — Expressar a área do triângulo ABP

A cerca AP forma o triângulo ABP, cuja área deve ser 280 m². Para achar CP, precisamos relacionar a área desse triângulo com CP. Observe que o triângulo ABP tem base AB e altura igual à distância de P até AB, que é a mesma altura do trapézio, BC = 20 m. Mas a área do triângulo ABP também pode ser vista como a área do trapézio menos a área do triângulo BCP, e isso nos dá uma relação com CP.

Por que esta fórmula: A área do triângulo ABP é a área total menos a área do triângulo BCP. O triângulo BCP tem base CP (que queremos) e altura BC (20 m), pois BC é perpendicular a CD. Assim, A_ABP = A_ABCD - A_BCP, e A_BCP = (CP · BC)/2.

A_{ABP} = A_{ABCD} - \frac{CP \cdot BC}{2}

De onde vem cada valor: $A_{ABCD}$ = passo 1: 560 m² · $CP$ = incógnita · $BC$ = enunciado: 20 m

280 = 560 - \frac{CP \cdot 20}{2}

NÃO CAIA NESSA!

Achar que a área do triângulo ABP é (AB · BC)/2, o que daria 220 m², mas isso não considera que P não está alinhado com B; a área correta usa a subtração.

Passo 4 — Isolar CP na equação

Temos uma equação com CP desconhecido. Precisamos isolá-lo para encontrar seu valor.

Por que esta fórmula: Manipulação algébrica: subtrair 560 de ambos os lados e depois dividir pelo coeficiente de CP.

CP = \frac{2 \cdot (A_{ABCD} - A_{ABP})}{BC}

De onde vem cada valor: $A_{ABCD}$ = passo 1: 560 m² · $A_{ABP}$ = passo 2: 280 m² · $BC$ = enunciado: 20 m

CP = \frac{2 \cdot (560 - 280)}{20} = \boxed{6\ \text{m}}

NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao subtrair ou esquecer de multiplicar por 2.

Resposta: CP = 6 m (alternativa B)

Questão de Matemática — Polígonos — FGV 2024

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Calcular a área total do trapézio

Passo 2 — Dividir a área total por dois

Passo 3 — Expressar a área do triângulo ABP

Passo 4 — Isolar CP na equação