Questão de Raciocínio Lógico — Análise Combinatória em Raciocínio Lógico — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 6 maneiras (alternativa C).

A ideia por trás

Análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas formas diferentes podemos organizar ou escolher elementos, sem precisar listar todas as possibilidades. Aqui, o elemento é uma tabela 2×2, e cada preenchimento é uma distribuição dos quatro números nas quatro casas, respeitando uma regra de ordem.

O princípio fundamental da contagem (PFC) diz: se uma escolha tem m opções e, para cada uma delas, uma segunda escolha tem n opções, o total é m × n. Quando há uma restrição, como 'o de cima menor que o de baixo', ela reduz as opções em cada etapa, e o PFC continua valendo, desde que contemos as opções válidas em cada passo.

Esta questão pede para contar os preenchimentos válidos. A restrição por coluna permite uma contagem em etapas: primeiro escolhemos os números da primeira linha, depois os da segunda, e o PFC multiplica as possibilidades de cada etapa.

O que a questão dá

• tabela 2×2 (4 quadrículas)

• números 1, 2, 3, 4 para preencher

• em cada coluna, o número de cima deve ser menor que o de baixo

O que queremos: o número de maneiras de preencher a tabela respeitando a condição

Passo 1 — Escolher os números da primeira linha

A condição é por coluna, então a primeira linha determina quais números ficam em cima. Precisamos escolher 2 números entre os 4 para ocupar a linha de cima; os outros 2 ficarão embaixo. Essa escolha é o primeiro passo da contagem.

Por que esta fórmula: Como a ordem dentro da linha ainda não importa (a condição é por coluna, e a ordem será definida depois), usamos combinação: C(4,2) = 4!/(2!·2!) = 6. Isso conta quantos conjuntos de 2 números podemos tirar de 4.

De onde vem cada valor: $4$ = enunciado: números 1, 2, 3, 4 · $2$ = constante: quantidade de casas na primeira linha

6 escolhas possíveis para a primeira linha

Passo 2 — Organizar os números escolhidos na primeira linha

Agora que temos os dois números que vão em cima, precisamos decidir em qual coluna cada um fica. Essa ordem importa porque a condição compara cada coluna separadamente.

Por que esta fórmula: São 2 números para 2 posições distintas (coluna 1 e coluna 2), então há 2! = 2 permutações possíveis.

De onde vem cada valor: $2$ = passo 1: quantidade de números escolhidos

$2!$ = 2 maneiras de ordenar a primeira linha

Passo 3 — Verificar se a segunda linha é forçada

Depois de fixar a primeira linha, os dois números restantes vão para a segunda linha. Mas será que qualquer ordem serve? A condição exige que, em cada coluna, o número de baixo seja maior que o de cima. Como os números restantes são os dois maiores, a única forma de satisfazer isso é colocar o menor deles embaixo do menor da primeira linha, e o maior embaixo do maior. Ou seja, a segunda linha fica determinada.

Por que esta fórmula: Não há fórmula: é uma análise lógica. Se a primeira linha tem (a, b) com a < b, os restantes são c e d com c < d. Para a coluna 1, precisamos de baixo > a; como c e d são ambos maiores que a e b, mas a única forma de garantir que o de baixo seja maior que o de cima em ambas as colunas é colocar c embaixo de a e d embaixo de b. Qualquer outra ordem violaria a condição em pelo menos uma coluna.

1 única maneira para a segunda linha

Passo 4 — Multiplicar as possibilidades de cada etapa

Cada escolha da primeira linha (6 opções) pode ser combinada com cada ordenação dela (2 opções), e a segunda linha é única. O princípio fundamental da contagem manda multiplicar as opções independentes.

Por que esta fórmula: PFC: total = (escolha dos números) × (ordem na primeira linha) × (segunda linha). Como a segunda linha tem 1 opção, o total é 6 × 2 × 1.

De onde vem cada valor: $C(4{,}2)$ = passo 1: 6 · $2!$ = passo 2: 2 · $1$ = passo 3: única possibilidade

Resposta: 6 maneiras (alternativa C)