Questão de Matemática — Geometria Plana — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 76 m (alternativa A).

A ideia por trás

O perímetro de um retângulo é a soma do dobro da base com o dobro da altura, ou seja, P = 2(b + h). Quando a área é fixa, o perímetro depende de como os lados se distribuem: quanto mais próximos os lados forem entre si, menor será a soma b + h e, portanto, menor o perímetro. Isso acontece porque, para um produto constante, a soma é mínima quando os fatores são iguais — é o que diz a desigualdade das médias. Nesta questão, precisamos encontrar os pares de divisores de 360 que respeitam a condição de serem inteiros e maiores ou iguais a 12, e então escolher o par com a menor soma.

O que a questão dá

• área = 360 m²

• lados são inteiros e ≥ 12 m

O que queremos: o menor perímetro possível do retângulo

Passo 1 — Listar os pares de divisores de 360

Precisamos encontrar todas as combinações possíveis de base e altura que resultam em área 360. Como os lados são inteiros, eles devem ser divisores de 360. Vamos listar os pares (b, h) tais que b × h = 360, mas apenas aqueles em que ambos são maiores ou iguais a 12, conforme o enunciado.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é A = b × h. Para achar os lados possíveis, procuramos pares de números inteiros cujo produto seja 360.

De onde vem cada valor: $A$ = enunciado: 360 m² · $b$ = base do retângulo (a determinar) · $h$ = altura do retângulo (a determinar)

Passo 2 — Filtrar os pares com lados ≥ 12

O enunciado exige que nenhum lado seja menor que 12 m. Então, dos pares de divisores de 360, descartamos aqueles em que algum fator é menor que 12. Os pares que sobram são (12, 30), (15, 24) e (18, 20).

Pares válidos: (12, 30), (15, 24), (18, 20)

Passo 3 — Calcular a soma dos lados de cada par

O perímetro é 2 vezes a soma dos lados. Para achar o menor perímetro, precisamos comparar as somas b + h de cada par. Quanto menor a soma, menor o perímetro.

Por que esta fórmula: O perímetro de um retângulo é P = 2(b + h). Então, minimizar P é o mesmo que minimizar b + h.

De onde vem cada valor: $b$ = passo 2: cada base dos pares · $h$ = passo 2: cada altura dos pares

Passo 4 — Escolher o par com a menor soma

Como o perímetro é diretamente proporcional à soma dos lados, o par com a menor soma dará o menor perímetro. Comparando 42, 39 e 38, o menor é 38, que corresponde ao par (18, 20).

Passo 5 — Calcular o perímetro do par escolhido

Agora que sabemos que os lados são 18 m e 20 m, aplicamos a fórmula do perímetro para obter o valor final.

Por que esta fórmula: O perímetro é a soma de todos os lados: dois lados de 18 e dois de 20, ou seja, P = 2(18 + 20).

De onde vem cada valor: $b$ = passo 4: 18 m · $h$ = passo 4: 20 m

Resposta: 76 m (alternativa A)