y ∈ B tal que x + y = 7.É correto afirmar queGabaritoD — A − B tem, no máximo, 1 elemento.
Gabarito: letra D. A condição "∀x ∈ A, ∃y ∈ B tal que x + y = 7" garante que, para cada elemento de A, existe um correspondente em B que soma 7. Isso significa que B deve conter, no mínimo, os elementos {5, 4, 2} (pois 2+5=7, 3+4=7, 5+2=7), mas nada impede que B tenha outros elementos. A diferença A − B (elementos que estão em A mas não em B) pode ter, no máximo, 1 elemento, pois dos três elementos de A, pelo menos dois precisam estar em B para satisfazer a condição.
O coração desta questão é entender o que o quantificador existencial (∃) realmente exige. A expressão "∀x ∈ A, ∃y ∈ B tal que x + y = 7" é uma promessa: para cada x em A, existe pelo menos um y em B que, somado a x, resulta em 7. Vamos traduzir isso para cada elemento de A:
Para x = 2, precisamos de y = 5 em B (pois 2 + 5 = 7).
Para x = 3, precisamos de y = 4 em B (pois 3 + 4 = 7).
Para x = 5, precisamos de y = 2 em B (pois 5 + 2 = 7).
Portanto, o conjunto B deve conter, no mínimo, os elementos {2, 4, 5}. Mas atenção: a condição não diz que B só pode ter esses elementos. B pode ter outros números, como 10, 100, ou qualquer outro. A única certeza é que B contém {2, 4, 5}.
Agora, vamos pensar nas operações de conjunto. A diferença A − B é o conjunto dos elementos que estão em A mas não estão em B. Como A = {2, 3, 5} e B contém 2 e 5 (obrigatoriamente), esses dois elementos não podem estar em A − B. O único elemento de A que pode ou não estar em B é o 3. Se B contiver 3, então A − B = ∅ (vazio). Se B não contiver 3, então A − B = {3}. Em qualquer cenário, A − B tem, no máximo, 1 elemento. É exatamente isso que a alternativa D afirma.
A pegadinha clássica desta questão é o aluno assumir que B = {2, 4, 5} exatamente, sem considerar que B pode ter outros elementos. Isso leva a erros nas alternativas que falam de união e interseção. Outra armadilha é inverter o raciocínio: pensar que a condição limita B, quando na verdade ela apenas garante um mínimo. Vamos analisar cada alternativa com cuidado.
Afirma que A ∩ B = {2, 5}. Isso seria verdade se B = {2, 4, 5} e nada mais. Mas B pode conter outros elementos, e mesmo que não contenha, a interseção seria {2, 5} apenas se 3 não estivesse em B. Como B pode conter 3, a interseção poderia ser {2, 3, 5}. A alternativa erra ao afirmar uma igualdade exata, quando na verdade só podemos garantir que {2, 5} ⊆ A ∩ B.
Afirma que A ∪ B = {2, 3, 4, 5}. Isso só seria verdade se B = {2, 4, 5} exatamente. Mas B pode ter outros elementos, como 6, 7, etc. Nesse caso, a união teria mais elementos. A alternativa erra ao fixar a união, quando na verdade só podemos garantir que {2, 3, 4, 5} ⊆ A ∪ B.
Afirma que B − A tem, no máximo, 1 elemento. B − A é o conjunto dos elementos que estão em B mas não em A. Como B pode ter infinitos elementos além de {2, 4, 5}, B − A pode ter muitos elementos. Por exemplo, se B = {2, 4, 5, 10, 20}, então B − A = {4, 10, 20}, que tem 3 elementos. A alternativa erra ao limitar B − A a 1 elemento, quando na verdade não há limite superior.
Afirma que A − B tem, no máximo, 1 elemento. Como vimos, A = {2, 3, 5} e B contém obrigatoriamente 2 e 5. Portanto, 2 e 5 não podem estar em A − B. O único candidato é o 3, que pode ou não estar em B. Se 3 ∈ B, então A − B = ∅ (0 elementos). Se 3 ∉ B, então A − B = {3} (1 elemento). Em qualquer caso, A − B tem no máximo 1 elemento. A alternativa está correta.
Afirma que A − B é conjunto vazio. Isso só seria verdade se 3 ∈ B. Mas a condição não garante isso. B pode não conter 3, e nesse caso A − B = {3}, que não é vazio. A alternativa erra ao afirmar que A − B é sempre vazio, quando na verdade pode ter 1 elemento.
A chave para resolver esta questão é separar o que é garantido pela condição do que é possível. A condição garante que B contém {2, 4, 5}, mas não garante nada sobre outros elementos. Isso torna as alternativas que afirmam igualdades exatas (A, B) ou limites superiores sem fundamento (C) incorretas, e a alternativa que afirma um limite superior correto (D) a resposta certa.
A banca quer que você assuma que B = {2, 4, 5} exatamente, sem considerar que B pode ter outros elementos. Isso derruba as alternativas A, B e C. A única afirmação que sobrevive à incerteza é a D, que usa "no máximo" em vez de uma igualdade exata. Fique atento: quando a questão usa quantificadores, o que importa é o que é garantido, não o que é possível.
Em questões de conjuntos com quantificadores, liste primeiro o que é obrigatório (o mínimo que B deve conter) e depois pergunte: "o que pode variar?". As alternativas que afirmam igualdades exatas ou limites sem base geralmente são as erradas. As que usam "no máximo" ou "no mínimo" costumam ser as corretas, pois respeitam a incerteza.
Gabarito: letra D
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