Questão de Matemática — Matrizes — FGV 2024

Matrizes: lei de formação e contagem de elementos

Gabarito: letra B (99 elementos positivos). Como cada elemento é dado por $a_{ij} = i - j$, os elementos positivos são aqueles em que $i > j$ (linha maior que coluna). Para uma matriz 15×11, o número de pares $(i,j)$ com $i > j$ é a soma $1+2+\dots+10 = 55$, mas como há 15 linhas e apenas 11 colunas, cada coluna $j$ contribui com $15 - j$ elementos positivos, totalizando $\sum_{j=1}^{11} (15-j) = 99$.

A questão mistura dois conceitos: a lei de formação de uma matriz (como calcular cada $a_{ij}$) e a contagem de elementos que satisfazem uma condição. O elemento $a_{ij} = i - j$ é positivo quando $i > j$, nulo quando $i = j$ e negativo quando $i < j$. Como a matriz tem mais linhas (15) do que colunas (11), a diagonal principal (onde $i = j$) só existe até a 11ª linha — os elementos da diagonal são nulos, e abaixo dela (onde $i > j$) temos os positivos.

A pegadinha clássica é tentar aplicar a fórmula de matriz quadrada (onde o número de positivos seria $\frac{n(n-1)}{2}$) sem perceber que a matriz é retangular. Para uma matriz quadrada 15×15, teríamos $\frac{15 \cdot 14}{2} = 105$ positivos; mas como só há 11 colunas, perdemos os elementos das colunas 12 a 15, que seriam positivos. Por isso o total é 99, não 105.

Vamos calcular de forma organizada: para cada coluna $j$ (de 1 a 11), os elementos positivos são aqueles com $i > j$. Como $i$ varia de 1 a 15, o número de linhas com $i > j$ é $15 - j$. Somando para todas as colunas:

Alternativamente, poderíamos contar por linha: para cada linha $i$ (de 1 a 15), os elementos positivos são aqueles com $j < i$. Como $j$ varia de 1 a 11, o número de colunas com $j < i$ é $\min(i-1, 11)$. Somando para todas as linhas:

Ambos os métodos confirmam o resultado. Os elementos nulos são exatamente 11 (a diagonal principal, onde $i = j$, de 1 a 11). Os elementos negativos são aqueles com $i < j$: para cada coluna $j$, há $j-1$ linhas com $i < j$, totalizando $\sum_{j=1}^{11} (j-1) = 0+1+\dots+10 = 55$. Note que $99 + 11 + 55 = 165$, que é exatamente o total de elementos da matriz (15 × 11 = 165).

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que há 55 elementos positivos. Esse número corresponde, na verdade, à quantidade de elementos negativos (55) ou ao número de positivos em uma matriz quadrada 11×11 (que seria $\frac{11 \cdot 10}{2} = 55$). Na matriz 15×11, os positivos são 99, pois as 4 linhas extras (12 a 15) adicionam 11 elementos positivos cada uma, totalizando 44 a mais.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Há 99 elementos positivos. Como $a_{ij} = i - j > 0$ quando $i > j$, contamos os pares $(i,j)$ com $i > j$: para cada coluna $j$ (1 a 11), há $15 - j$ linhas com $i > j$. Somando: $14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4 = 99$. A alternativa está correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que há 15 elementos nulos. Os elementos nulos ocorrem quando $i = j$, ou seja, na diagonal principal. Como a matriz tem 11 colunas, a diagonal principal só vai até a 11ª linha — portanto, há exatamente 11 elementos nulos, não 15. O número 15 seria o total de linhas, não de elementos nulos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que há 44 elementos negativos. Os elementos negativos ocorrem quando $i < j$. Para cada coluna $j$, há $j-1$ linhas com $i < j$, totalizando $0+1+\dots+10 = 55$ elementos negativos. O número 44 é justamente a diferença entre os positivos de uma matriz 15×15 (105) e os positivos reais (99) — ou seja, é o número de elementos positivos que "se perdem" por não haver colunas 12 a 15.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que há 88 elementos negativos. Como vimos, o total de negativos é 55 (soma de 0 a 10). O número 88 não corresponde a nenhuma contagem direta da matriz; talvez o candidato tenha tentado calcular $15 \times 11 - 99 - 11 = 55$ e errado a conta, ou confundido com outra combinação.

Gabarito: letra B