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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2024

MatemáticaProbabilidade
Código
fg103269
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de Vitória - ES
Ano
2024
Nível
Superior
Em uma urna, há exclusivamente 5 bolas brancas e 3 amarelas. Uma primeira bola será retirada ao acaso da urna e descartada, ou seja, não será reposta na urna. Em seguida, outras duas bolas serão retiradas simultaneamente dessa mesma urna.A probabilidade de que as três bolas tenham a mesma cor é
  1. A1/56.
  2. B10/56.
  3. C11/56.
  4. D20/56.
  5. E21/56.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 11/56.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 11/56 (alternativa C).

A ideia por trás

A probabilidade mede a chance de um evento acontecer, variando de 0 a 1. Quando retiramos bolas de uma urna sem reposição, a composição da urna muda a cada retirada, então os eventos não são independentes: a probabilidade de cada retirada depende das anteriores. Por isso usamos probabilidade condicional, multiplicando as frações que representam a chance em cada etapa. Nesta questão, queremos que as três bolas sejam todas brancas ou todas amarelas; como esses dois casos não podem ocorrer ao mesmo tempo, somamos suas probabilidades.

O que a questão dá

  • 5 bolas brancas

  • 3 bolas amarelas

  • total de 8 bolas

  • primeira bola é descartada (sem reposição)

  • outras duas bolas retiradas simultaneamente

O que queremos: a probabilidade de que as três bolas retiradas tenham a mesma cor

Passo 1 — Calcular a probabilidade de três brancas

Precisamos considerar os dois casos possíveis para 'mesma cor': todas brancas ou todas amarelas. Começamos pelo caso das brancas, que é o mais provável por haver mais bolas brancas.

Por que esta fórmula: Como a retirada é sem reposição, a cada passo o número de bolas brancas e o total diminuem. Multiplicamos as probabilidades de cada retirada, pois queremos que as três sejam brancas em sequência.

P(BBB)=58×47×36P(BBB) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6}

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: 5 bolas brancas · 88 = enunciado: total de 8 bolas · 44 = após retirar 1 branca, restam 4 brancas · 77 = após retirar 1 bola, restam 7 bolas · 33 = após retirar 2 brancas, restam 3 brancas · 66 = após retirar 2 bolas, restam 6 bolas

P(BBB)=58×47×36=60336=528=5 /28P(BBB) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{60}{336} = \frac{5}{28} = \boxed{5\ /28}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de reduzir o total de bolas a cada retirada, usando sempre 8 no denominador.

Passo 2 — Calcular a probabilidade de três amarelas

O outro caso de 'mesma cor' é todas amarelas. Como há menos amarelas, a probabilidade é menor, mas precisa ser somada.

Por que esta fórmula: Mesmo raciocínio: sem reposição, multiplicamos as probabilidades de cada retirada de bola amarela.

P(AAA)=38×27×16P(AAA) = \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} \times \frac{1}{6}

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: 3 bolas amarelas · 88 = enunciado: total de 8 bolas · 22 = após retirar 1 amarela, restam 2 amarelas · 77 = após retirar 1 bola, restam 7 bolas · 11 = após retirar 2 amarelas, resta 1 amarela · 66 = após retirar 2 bolas, restam 6 bolas

P(AAA)=38×27×16=6336=156=1 /56P(AAA) = \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} \times \frac{1}{6} = \frac{6}{336} = \frac{1}{56} = \boxed{1\ /56}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem: a primeira retirada tem 3 amarelas em 8, não 3 em 7.

Passo 3 — Somar as probabilidades dos dois casos

Os eventos 'três brancas' e 'três amarelas' são mutuamente exclusivos, ou seja, não podem acontecer ao mesmo tempo. Por isso, a probabilidade de sair qualquer uma das duas cores é a soma das probabilidades individuais.

Por que esta fórmula: Para somar frações com denominadores diferentes, precisamos igualá-los. Aqui, 5/28 pode ser escrito como 10/56, pois 28 × 2 = 56.

P=528+156=1056+156=1156P = \frac{5}{28} + \frac{1}{56} = \frac{10}{56} + \frac{1}{56} = \frac{11}{56}

De onde vem cada valor: 528\frac{5}{28} = passo 1 · 156\frac{1}{56} = passo 2

P=528+156=1056+156=1156=11 /56P = \frac{5}{28} + \frac{1}{56} = \frac{10}{56} + \frac{1}{56} = \frac{11}{56} = \boxed{11\ /56}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os dois casos, marcando apenas a probabilidade de três brancas (10/56) ou de três amarelas (1/56).

Resposta: 11/56 (alternativa C)

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