GabaritoA — 153.
Gabarito: letra A — a conta chega a 153 elementos ímpares (alternativa A).
Uma matriz é uma tabela de números organizados em linhas e colunas; cada elemento é identificado pela sua posição (linha, coluna). Nesta questão, o valor de cada elemento é o maior entre o número da linha e o número da coluna. A paridade (se é ímpar ou par) de um número depende apenas do seu valor: números que terminam em 1, 3, 5, 7, 9 são ímpares. Para contar quantos elementos são ímpares, precisamos analisar cada posição da matriz e ver se o máximo entre p e q é ímpar. Como a matriz é 18×18, há 324 elementos no total, mas só uma parte é ímpar. A contagem pode ser feita linha por linha, observando que, para uma linha fixa p, os elementos são max(p,1), max(p,2), ..., max(p,18). Para q ≤ p, o máximo é p (constante); para q > p, o máximo é q (cresce). Assim, a paridade dos elementos depende de p e de q. Nesta questão, precisamos somar, para cada linha, quantos elementos são ímpares, considerando que os primeiros p elementos são iguais a p e os restantes são os números de p+1 a 18.
matriz M de ordem 18 (18 linhas e 18 colunas)
elemento a_{pq} = max(p, q), onde p é a linha e q é a coluna
O que queremos: a quantidade de elementos ímpares na matriz M
Antes de contar, precisamos saber exatamente o valor de cada elemento. A lei diz que a_{pq} é o maior entre p e q. Por exemplo, na linha 3, coluna 5, o elemento é max(3,5)=5. Isso define toda a matriz.
Achar que a_{pq} é a soma ou o produto de p e q, em vez do máximo.
Para contar os ímpares, vamos olhar cada linha separadamente. Numa linha fixa p, os elementos são max(p,1), max(p,2), ..., max(p,18). Para q ≤ p, o máximo é p; para q > p, o máximo é q. Isso divide a linha em duas partes: os primeiros p elementos são todos iguais a p, e os restantes são os números de p+1 a 18.
Esquecer que para q ≤ p o valor é p, e não q.
Se p é ímpar, os primeiros p elementos (todos iguais a p) são ímpares. Além disso, entre p+1 e 18, precisamos contar quantos números são ímpares. Como p é ímpar, p+1 é par, então os ímpares nesse trecho são p+2, p+4, ..., até 18. O número de ímpares de p+1 a 18 é (18-p)/2, porque o intervalo tem 18-p números e metade são ímpares (começa em par e termina em par).
Por que esta fórmula: A quantidade de ímpares em um intervalo de números consecutivos pode ser calculada dividindo o tamanho do intervalo por 2, quando o primeiro e o último têm a mesma paridade. Aqui, p+1 é par e 18 é par, então há exatamente (18-p)/2 ímpares.
De onde vem cada valor: = enunciado: número da linha, varia de 1 a 18 · = enunciado: ordem da matriz · = quantidade de ímpares entre p+1 e 18
Usar (18-p+1)/2, contando errado o número de elementos no intervalo.
Se p é par, os primeiros p elementos (iguais a p) são pares, então não contam. Os elementos de p+1 a 18 começam em p+1 (ímpar) e terminam em 18 (par), então há (18-p)/2 ímpares, pois o intervalo tem 18-p números e metade são ímpares.
Por que esta fórmula: Analogamente ao caso ímpar, o número de ímpares no intervalo é metade do tamanho, pois começa em ímpar e termina em par, então há exatamente (18-p)/2 ímpares.
De onde vem cada valor: = enunciado: ordem da matriz · = enunciado: número da linha
Contar também os primeiros p elementos, que são pares.
Agora aplicamos as fórmulas para cada p de 1 a 18, para obter a quantidade de ímpares em cada linha. Isso nos dará uma lista de valores que depois somamos.
Errar a aritmética ao calcular (18-p)/2 para p ímpar ou par.
A quantidade total de elementos ímpares na matriz é a soma dos ímpares de cada linha. Somamos os valores obtidos no passo anterior.
Esquecer de somar todas as linhas ou somar errado.
Resposta: 153 elementos ímpares (alternativa A)
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