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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2024

MatemáticaProbabilidade
Código
fg103575
Banca
FGV
Órgão
TCE-PA
Ano
2024
Nível
Superior
A urna I contém 6 bolas brancas e 10 bolas azuis; a urna II contém 8 bolas brancas e 11 bolas azuis. Sorteamos ao caso uma bola da urna I e a colocamos na urna II sem observar sua cor. Em seguida, sorteamos duas bolas da urna II, sem reposição.A probabilidade de que as duas bolas sorteadas da urna II sejam brancas é aproximadamente igual a
  1. A0,180.
  2. B0,305.
  3. C0,366.
  4. D0,466.
  5. E0,482.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 0,180.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a A probabilidade é de aproximadamente 0,163, que não bate exatamente com nenhuma alternativa; a mais próxima é a letra A (0,180)..

A ideia por trás

Probabilidade é a medida de quão provável é um evento acontecer, variando de 0 (impossível) a 1 (certo). Quando um experimento tem etapas, a probabilidade de um resultado final depende das probabilidades de cada caminho possível até ele. Aqui, o caminho tem duas partes: primeiro transferimos uma bola (que pode ser branca ou azul), depois retiramos duas bolas da urna modificada.

O teorema da probabilidade total diz que, se um evento pode ocorrer por vários caminhos mutuamente exclusivos, a probabilidade total é a soma das probabilidades de cada caminho. Cada caminho é o produto da probabilidade de escolher aquele caminho pela probabilidade do evento dado que escolhemos aquele caminho. No caso de retiradas sem reposição, a probabilidade de tirar duas bolas brancas é o produto da chance de a primeira ser branca pela chance de a segunda ser branca, sabendo que a primeira já foi branca.

Esta questão cobra exatamente essa combinação: precisamos considerar os dois cenários de transferência (bola branca ou azul) e, para cada um, calcular a probabilidade de tirar duas brancas da urna II, para depois somar ponderadamente.

O que a questão dá

  • urna I: 6 bolas brancas e 10 azuis

  • urna II: 8 bolas brancas e 11 azuis

  • uma bola é transferida da urna I para a urna II sem observar a cor

  • depois, duas bolas são sorteadas da urna II sem reposição

O que queremos: a probabilidade de as duas bolas sorteadas da urna II serem brancas

Passo 1 — Calcular a chance de transferir bola branca

A cor da bola transferida muda a composição da urna II, então precisamos saber a probabilidade de cada caso antes de calcular as retiradas. A urna I tem 16 bolas no total, e 6 delas são brancas.

Por que esta fórmula: Probabilidade é o número de casos favoráveis dividido pelo total de casos possíveis. Aqui, favoráveis são as 6 brancas, possíveis são as 16 bolas da urna I.

P(B1)=616P(B_1) = \frac{6}{16}

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: 6 bolas brancas na urna I · 1616 = enunciado: 6 + 10 = 16 bolas na urna I

P(B1)=616=3 /8P(B_1) = \frac{6}{16} = \boxed{3\ /8}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 6/10, confundindo a razão de brancas para azuis com a probabilidade de tirar branca

Passo 2 — Calcular a chance de transferir bola azul

Como a bola transferida pode ser azul, precisamos dessa probabilidade para o segundo cenário. Ela é o complemento da anterior, mas vamos calculá-la diretamente para não errar.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: 10 bolas azuis entre 16 totais.

P(A1)=1016P(A_1) = \frac{10}{16}

De onde vem cada valor: 1010 = enunciado: 10 bolas azuis na urna I · 1616 = enunciado: 6 + 10 = 16 bolas na urna I

P(A1)=1016=5 /8P(A_1) = \frac{10}{16} = \boxed{5\ /8}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a soma das duas probabilidades deve dar 1; se der diferente, revise

Passo 3 — Calcular a chance de duas brancas se a transferida for branca

Se a bola transferida for branca, a urna II fica com 9 brancas e 11 azuis, total 20. Agora precisamos da probabilidade de tirar duas brancas sem reposição, que é o produto das probabilidades de cada retirada.

Por que esta fórmula: Sem reposição, a segunda retirada depende da primeira: se a primeira foi branca, restam 8 brancas entre 19 bolas. Por isso multiplicamos as duas frações.

P(2B∣B1)=920×819P(2B \mid B_1) = \frac{9}{20} \times \frac{8}{19}

De onde vem cada valor: 99 = passo 1: 8 brancas originais + 1 transferida · 2020 = passo 1: 8 + 11 + 1 = 20 bolas na urna II após transferência · 88 = passo 1: 9 brancas menos a primeira retirada · 1919 = passo 1: 20 bolas menos a primeira retirada

P(2B∣B1)=920×819=18 /95P(2B \mid B_1) = \frac{9}{20} \times \frac{8}{19} = \boxed{18\ /95}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 9/20 duas vezes, esquecendo que a segunda retirada tem uma bola a menos

Passo 4 — Calcular a chance de duas brancas se a transferida for azul

Se a bola transferida for azul, a urna II fica com 8 brancas e 12 azuis, total 20. Aplicamos o mesmo raciocínio de retiradas sem reposição.

Por que esta fórmula: Mesma lógica do passo anterior, agora com 8 brancas iniciais.

P(2B∣A1)=820×719P(2B \mid A_1) = \frac{8}{20} \times \frac{7}{19}

De onde vem cada valor: 88 = enunciado: 8 brancas originais na urna II · 2020 = passo 2: 8 + 11 + 1 = 20 bolas na urna II após transferência · 77 = passo 2: 8 brancas menos a primeira retirada · 1919 = passo 2: 20 bolas menos a primeira retirada

P(2B∣A1)=820×719=14 /95P(2B \mid A_1) = \frac{8}{20} \times \frac{7}{19} = \boxed{14\ /95}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com o caso anterior e usar 9 em vez de 8

Passo 5 — Combinar os dois cenários pela probabilidade total

A transferência pode ter sido branca ou azul, e cada caso tem sua própria probabilidade de tirar duas brancas. Para obter a probabilidade total, somamos as contribuições de cada cenário, cada uma multiplicada pela probabilidade de o cenário ocorrer.

Por que esta fórmula: O teorema da probabilidade total: P(2B) = P(B_1)·P(2B|B_1) + P(A_1)·P(2B|A_1).

P(2B)=P(B1)×P(2B∣B1)+P(A1)×P(2B∣A1)P(2B) = P(B_1) \times P(2B \mid B_1) + P(A_1) \times P(2B \mid A_1)

De onde vem cada valor: P(B1)P(B_1) = passo 1: 3/8 · P(2B∣B1)P(2B \mid B_1) = passo 3: 18/95 · P(A1)P(A_1) = passo 2: 5/8 · P(2B∣A1)P(2B \mid A_1) = passo 4: 14/95

P(2B)=38×1895+58×1495=31 /190≈0,1632P(2B) = \frac{3}{8} \times \frac{18}{95} + \frac{5}{8} \times \frac{14}{95} = \boxed{31\ /190 ≈ 0,1632}
NÃO CAIA NESSA!

Somar as frações sem multiplicar pelas probabilidades da transferência, o que daria 32/95 ≈ 0,337

Resposta: A probabilidade é de aproximadamente 0,163, que não bate exatamente com nenhuma alternativa; a mais próxima é a letra A (0,180).

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