GabaritoC — 15;
Gabarito: letra C — a soma dos possíveis valores de X é 15. A resolução combina três condições: a amostra tem moda única (o valor 2, que já aparece duas vezes, não pode ser repetido), a média é igual à mediana, e 4 < X < Y. Testando os valores inteiros possíveis para X, apenas X = 7 e X = 8 satisfazem todas as condições, e 7 + 8 = 15.
Vamos entender o problema por partes. Temos a amostra: 2, 5, 9, X, Y, 2, 6. São 7 elementos. A moda é o valor que mais se repete. O número 2 aparece duas vezes; todos os outros aparecem uma vez. Para que a moda seja única, nenhum outro valor pode aparecer duas vezes. Como X e Y são diferentes entre si (4 < X < Y) e diferentes de 2, a moda única é garantida — desde que X e Y não sejam iguais a 2, o que já é garantido pela condição 4 < X.
A média é a soma de todos os elementos dividida por 7. A soma dos elementos conhecidos é 2 + 5 + 9 + 2 + 6 = 24. Então a média é (24 + X + Y) / 7.
A mediana é o termo central quando os dados estão ordenados. Com 7 elementos, a mediana é o 4º termo. Como X e Y são maiores que 4, os menores valores são 2, 2, 5, 6. O 4º termo será 6, 9, X ou Y, dependendo dos valores de X e Y. Vamos analisar as possibilidades.
Como a média é igual à mediana, e a média é (24 + X + Y) / 7, a mediana deve ser um número tal que, multiplicado por 7, resulte em 24 + X + Y. Vamos testar os valores possíveis para X (inteiros maiores que 4 e menores que Y).
Se X = 5, então Y > 5. A mediana seria 6 (pois os termos ordenados seriam 2, 2, 5, 5, 6, 9, Y ou similar). A média seria (24 + 5 + Y) / 7 = (29 + Y) / 7. Para ser igual a 6, teríamos 29 + Y = 42, logo Y = 13. Mas Y = 13 é possível, e a mediana seria 6. Porém, precisamos verificar se a moda é única: com X = 5, o 5 aparece duas vezes (o 5 original e o X), então a moda não seria única (2 e 5 apareceriam duas vezes). Logo, X = 5 não serve.
Se X = 6, então Y > 6. Os termos ordenados seriam 2, 2, 5, 6, 6, 9, Y. A mediana é 6. A média seria (24 + 6 + Y) / 7 = (30 + Y) / 7. Para ser igual a 6, teríamos 30 + Y = 42, logo Y = 12. Mas com X = 6, o 6 aparece duas vezes (o 6 original e o X), então a moda não seria única. Logo, X = 6 não serve.
Se X = 7, então Y > 7. Os termos ordenados seriam 2, 2, 5, 6, 7, 9, Y. A mediana é 6. A média seria (24 + 7 + Y) / 7 = (31 + Y) / 7. Para ser igual a 6, teríamos 31 + Y = 42, logo Y = 11. Verificando a moda: 2 aparece duas vezes, e nenhum outro valor se repete (X = 7, Y = 11, 5, 6, 9 aparecem uma vez). A moda é única (2). Então X = 7 é um valor possível.
Se X = 8, então Y > 8. Os termos ordenados seriam 2, 2, 5, 6, 8, 9, Y. A mediana é 6. A média seria (24 + 8 + Y) / 7 = (32 + Y) / 7. Para ser igual a 6, teríamos 32 + Y = 42, logo Y = 10. Verificando a moda: 2 aparece duas vezes, e nenhum outro valor se repete. A moda é única (2). Então X = 8 é um valor possível.
Se X = 9, então Y > 9. Os termos ordenados seriam 2, 2, 5, 6, 9, 9, Y. A mediana é 6. A média seria (24 + 9 + Y) / 7 = (33 + Y) / 7. Para ser igual a 6, teríamos 33 + Y = 42, logo Y = 9. Mas Y deve ser maior que X, e Y = 9 não é maior que X = 9. Logo, X = 9 não serve.
Se X = 10 ou maior, a mediana seria 6 (pois os termos ordenados seriam 2, 2, 5, 6, 9, X, Y). A média seria (24 + X + Y) / 7. Para ser igual a 6, teríamos 24 + X + Y = 42, logo X + Y = 18. Como X < Y e X ≥ 10, teríamos X = 10, Y = 8 (mas Y > X, não serve) ou X = 11, Y = 7 (não serve). Nenhum valor serve.
Portanto, os valores possíveis de X são 7 e 8. A soma é 7 + 8 = 15.
Caso (X) | Atribuição (X, Y) | Resultado |
|---|---|---|
X = 5 | X = 5, Y = 13 | Inviável (moda não única: 2 e 5 repetem) |
X = 6 | X = 6, Y = 12 | Inviável (moda não única: 2 e 6 repetem) |
X = 7 | X = 7, Y = 11 | Consistente (moda única = 2; média = mediana = 6) |
X = 8 | X = 8, Y = 10 | Consistente (moda única = 2; média = mediana = 6) |
X = 9 | X = 9, Y = 9 | Inviável (viola Y > X) |
X ≥ 10 | X + Y = 18, Y > X | Inviável (nenhum par satisfaz) |
O valor 13 não corresponde à soma dos valores possíveis de X. Os valores possíveis são 7 e 8, cuja soma é 15.
O valor 14 não corresponde à soma dos valores possíveis de X. A soma correta é 15.
Os valores possíveis de X são 7 e 8, e a soma é 7 + 8 = 15. A alternativa C está correta.
O valor 16 não corresponde à soma dos valores possíveis de X. A soma correta é 15.
O valor 17 não corresponde à soma dos valores possíveis de X. A soma correta é 15.
A banca tenta induzir o aluno a esquecer a condição de moda única. Se você ignorar essa condição, poderia considerar X = 5 ou X = 6 como válidos, pois a média seria igual à mediana. Mas, nesses casos, o valor de X repetiria um número já existente na amostra, criando uma segunda moda. A condição de moda única elimina esses valores, deixando apenas X = 7 e X = 8.
Em questões de estatística descritiva, sempre verifique todas as condições do enunciado. Aqui, a moda única é a chave para restringir as possibilidades. Uma boa estratégia é testar cada valor inteiro possível de X, verificando se a média é igual à mediana e se a moda é única.
Gabarito: letra C
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