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Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

MatemáticaGeometria Analítica
Código
fg103826
Banca
FGV
Órgão
TJ-MT
Ano
2024
Nível
Superior
Um corpo com dimensões desprezíveis está em uma posição do plano cartesiano descrita pelo ponto P₀ = (0, b).Partindo de P₀, esse corpo se move 3 unidades no sentido positivo do eixo das abscissas (eixo x) e 1 unidade no sentido negativo do eixo das ordenadas (eixo y) e, com isso, alcança o ponto P₁. A partir de P₁, esse corpo se move 2 unidades no sentido positivo do eixo x e 2 unidades no sentido negativo do eixo y e, com isso, alcança o ponto P₂ = (α, 0).É correto concluir que a soma b + α é igual a
  1. A4.
  2. B5.
  3. C6.
  4. D7.
  5. E8.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a b + α = 8, alternativa E..

A ideia por trás

No plano cartesiano, um deslocamento é uma translação: cada movimento soma ou subtrai um valor à coordenada correspondente. Mover-se no sentido positivo do eixo x significa somar à abscissa; mover-se no sentido negativo do eixo y significa subtrair da ordenada. A posição final é obtida aplicando os deslocamentos sucessivamente, sempre a partir do ponto anterior. Nesta questão, precisamos acompanhar as coordenadas após cada movimento e usar o fato de que a ordenada final é zero para descobrir b, e a abscissa final é α.

O que a questão dá

  • P₀ = (0, b)

  • primeiro deslocamento: +3 em x, -1 em y

  • segundo deslocamento: +2 em x, -2 em y

  • P₂ = (α, 0)

O que queremos: o valor de b + α

Passo 1 — Calcular a coordenada x de P₁

O primeiro deslocamento move o corpo 3 unidades no sentido positivo do eixo x. Como o sentido positivo significa somar, partimos de x = 0 e somamos 3.

Por que esta fórmula: A coordenada x após o deslocamento é a coordenada inicial mais a variação: x₁ = x₀ + Δx.

x1=x0+Δxx_1 = x_0 + \Delta x

De onde vem cada valor: x0x_0 = enunciado: P₀ = (0, b), então x₀ = 0 · Δx\Delta x = enunciado: 3 unidades no sentido positivo

x1=0+3=3x_1 = 0 + 3 = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o sentido positivo soma, e subtrair 3.

Passo 2 — Calcular a coordenada y de P₁

O primeiro deslocamento também move o corpo 1 unidade no sentido negativo do eixo y. Sentido negativo significa subtrair da ordenada.

Por que esta fórmula: A coordenada y após o deslocamento é a inicial menos a variação: y₁ = y₀ - 1.

y1=y0−1y_1 = y_0 - 1

De onde vem cada valor: y0y_0 = enunciado: P₀ = (0, b), então y₀ = b · 11 = enunciado: 1 unidade no sentido negativo

y1=b−1=b−1y_1 = b - 1 = \boxed{\text{b} - 1}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 1 em vez de subtrair, por confundir o sentido negativo.

Passo 3 — Calcular a coordenada x de P₂

O segundo deslocamento parte de P₁, então usamos a coordenada x de P₁ (que já calculamos) e somamos 2, pois é no sentido positivo.

Por que esta fórmula: A coordenada x final é a de P₁ mais a variação: x₂ = x₁ + 2.

x2=x1+2x_2 = x_1 + 2

De onde vem cada valor: x1x_1 = passo 1: 3 · 22 = enunciado: 2 unidades no sentido positivo

x2=3+2=5x_2 = 3 + 2 = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Usar x₀ = 0 em vez de x₁ = 3, esquecendo que o deslocamento é sucessivo.

Passo 4 — Calcular a coordenada y de P₂

O segundo deslocamento também move 2 unidades no sentido negativo do eixo y, então subtraímos 2 da coordenada y de P₁.

Por que esta fórmula: A coordenada y final é a de P₁ menos 2: y₂ = y₁ - 2.

y2=y1−2y_2 = y_1 - 2

De onde vem cada valor: y1y_1 = passo 2: b - 1 · 22 = enunciado: 2 unidades no sentido negativo

y2=(b−1)−2=b−3y_2 = (b - 1) - 2 = \boxed{\text{b} - 3}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 2 em vez de subtrair, ou esquecer de usar o valor de y₁.

Passo 5 — Descobrir o valor de b

Sabemos que P₂ = (α, 0), então a coordenada y de P₂ é zero. Igualamos a expressão que encontramos para y₂ a zero e resolvemos para b.

Por que esta fórmula: Como y₂ = b - 3 e também y₂ = 0, temos a equação b - 3 = 0.

b−3=0b - 3 = 0

De onde vem cada valor: b−3b - 3 = passo 4: y₂ = b - 3 · 00 = enunciado: P₂ = (α, 0), então y₂ = 0

b−3=0b - 3 = 0
b=3b = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Resolver errado a equação, por exemplo, b = -3.

Passo 6 — Descobrir o valor de α

A coordenada x de P₂ é α, e já calculamos que x₂ = 5. Portanto, α = 5.

Por que esta fórmula: Como P₂ = (α, 0), a abscissa é α, e x₂ = 5, então α = 5.

α=x2\alpha = x_2

De onde vem cada valor: x2x_2 = passo 3: 5

α=5=5\alpha = 5 = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir α com a coordenada y, ou errar o cálculo de x₂.

Passo 7 — Somar b e α

A questão pede a soma b + α. Já temos os valores de b e α, então basta somá-los.

Por que esta fórmula: A soma é direta: b + α.

b+αb + \alpha

De onde vem cada valor: bb = passo 5: 3 · α\alpha = passo 6: 5

3+5=83 + 5 = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar, ou errar a soma.

Resposta: b + α = 8, alternativa E.

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