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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2024

MatemáticaProbabilidade
Código
fg103828
Banca
FGV
Órgão
TJ-MT
Ano
2024
Nível
Superior
Em uma caixa, há 1 bola branca, 2 bolas azuis e 3 bolas vermelhas. As bolas serão retiradas ao acaso, uma a uma, sem serem repostas, até que, pela primeira vez, entre as bolas retiradas, haja duas de uma mesma cor.A probabilidade de que isso ocorra na 3ª retirada é
  1. A9/60.
  2. B10/60.
  3. C11/60.
  4. D12/60.
  5. E13/60.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 13/60.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 13/30 (equivalente a 26/60), que não está entre as alternativas; o gabarito indicado (13/60) parece incorreto..

A ideia por trás

A probabilidade é a medida de quão provável é um evento acontecer, variando de 0 (impossível) a 1 (certo). Quando retiramos bolas sem reposição, a chance de cada cor muda a cada passo, porque o total de bolas diminui e as quantidades de cada cor também. Para que a repetição aconteça pela primeira vez na terceira retirada, as duas primeiras devem ser de cores diferentes, e a terceira deve repetir uma delas. Isso exige considerar todas as sequências possíveis de três retiradas que satisfazem essa condição e somar suas probabilidades.

O que a questão dá

  • 1 bola branca (B)

  • 2 bolas azuis (A)

  • 3 bolas vermelhas (V)

  • total de 6 bolas

  • retiradas sem reposição

O que queremos: a probabilidade de que a primeira repetição de cor ocorra na 3ª retirada

Passo 1 — Listar as sequências possíveis

Precisamos identificar todos os casos em que as duas primeiras bolas são de cores diferentes e a terceira repete uma delas. Isso garante que a repetição ocorra exatamente na terceira retirada.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de considerar todas as combinações de cores, como B-A-A, B-V-V, A-B-B, etc.

Passo 2 — Calcular a probabilidade de cada sequência

Cada sequência tem uma probabilidade que é o produto das probabilidades de cada retirada, já que as retiradas são dependentes (sem reposição).

Por que esta fórmula: Usamos a regra da multiplicação para eventos dependentes: P(sequência) = P(1ª) × P(2ª | 1ª) × P(3ª | 1ª e 2ª).

P=ncor16×ncor25×ncor34P = \frac{n_{cor1}}{6} \times \frac{n_{cor2}}{5} \times \frac{n_{cor3}}{4}

De onde vem cada valor: ncor1n_{cor1} = quantidade da cor na primeira retirada (do enunciado) · 66 = total de bolas inicial · ncor2n_{cor2} = quantidade da cor na segunda retirada (após a primeira) · 55 = total de bolas restantes após a primeira · ncor3n_{cor3} = quantidade da cor na terceira retirada (após as duas primeiras) · 44 = total de bolas restantes após as duas primeiras

NÃO CAIA NESSA!

Usar o total de bolas errado em cada passo, por exemplo, usar 6 em todas as retiradas.

Passo 3 — Calcular a probabilidade da sequência B-A-A

Vamos calcular uma sequência específica para exemplificar o método. B-A-A: primeira branca, segunda azul, terceira azul.

Por que esta fórmula: Aplicamos a fórmula do passo 2 com as quantidades: branca (1), azul (2), azul (1 restante).

P=16×25×14P = \frac{1}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4}

De onde vem cada valor: 11 = quantidade de bolas azuis restantes após a segunda (2-1) · 66 = total de bolas inicial · 22 = quantidade de bolas azuis (enunciado) · 55 = total de bolas restantes após a primeira · 44 = total de bolas restantes após as duas primeiras

P=16×25×14=2120=160=1 /60P = \frac{1}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60} = \boxed{1\ /60}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que após retirar uma azul, restam apenas 1 azul, então usar 2 na terceira retirada.

Passo 4 — Calcular as demais sequências válidas

Precisamos calcular as probabilidades de todas as outras sequências que satisfazem a condição, para depois somá-las.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: multiplicar as probabilidades de cada retirada, considerando as quantidades restantes.

NÃO CAIA NESSA!

Contar sequências que não são válidas, como B-A-B (não há branca restante) ou esquecer de alguma.

Passo 5 — Somar as probabilidades

Como as sequências são mutuamente exclusivas, a probabilidade total é a soma das probabilidades individuais.

Por que esta fórmula: Usamos a regra da soma para eventos mutuamente exclusivos.

Ptotal=∑PiP_{total} = \sum P_i

De onde vem cada valor: PiP_i = probabilidades calculadas nos passos anteriores

Ptotal=160+360+160+360+660+360+660+360=2660=1330=13 /30P_{total} = \frac{1}{60} + \frac{3}{60} + \frac{1}{60} + \frac{3}{60} + \frac{6}{60} + \frac{3}{60} + \frac{6}{60} + \frac{3}{60} = \frac{26}{60} = \frac{13}{30} = \boxed{13\ /30}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma ou esquecer de incluir alguma sequência.

Resposta: 13/30 (equivalente a 26/60), que não está entre as alternativas; o gabarito indicado (13/60) parece incorreto.

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