Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2024

Probabilidade: evento complementar

Gabarito: letra A — a probabilidade de sair "cara" pelo menos uma vez em 3 lançamentos é 98/125. A forma mais direta é calcular pelo complemento: a probabilidade de NÃO sair cara em nenhum lançamento (ou seja, sair coroa nas 3 vezes) e subtrair de 1.

A questão trabalha com o conceito de evento complementar: em vez de somar as probabilidades de sair 1, 2 ou 3 caras (que seriam eventos mutuamente exclusivos, mas exigiriam mais contas), calculamos a probabilidade do evento oposto — não sair cara nenhuma vez — e subtraímos de 1. Isso é válido porque a soma das probabilidades de um evento e de seu complemento é sempre 1 (100%).

A probabilidade de sair coroa em um lançamento é o complemento da probabilidade de sair cara: $P(\text{coroa}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$. Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de sair coroa nos três lançamentos é o produto das probabilidades individuais: $\left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125}$. Portanto, a probabilidade de sair cara pelo menos uma vez é $1 - \frac{27}{125} = \frac{98}{125}$.

A pegadinha clássica aqui é o aluno calcular diretamente a probabilidade de sair exatamente uma cara (ou somar as probabilidades de 1, 2 e 3 caras) e errar nas contas, ou então esquecer de considerar os casos com 2 e 3 caras. O caminho pelo complemento elimina esse risco.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a resposta correta. Calculamos a probabilidade de não sair cara em nenhum dos 3 lançamentos: $P(\text{3 coroas}) = \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125}$. O evento "sair cara pelo menos uma vez" é o complemento, então $P = 1 - \frac{27}{125} = \frac{125 - 27}{125} = \frac{98}{125}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 54/125 não corresponde a nenhum cálculo direto do problema. Se o aluno calculasse a probabilidade de sair exatamente uma cara, teria $3 \times \frac{2}{5} \times \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 3 \times \frac{2}{5} \times \frac{9}{25} = \frac{54}{125}$. Ou seja, 54/125 é a probabilidade de sair exatamente uma cara, não "pelo menos uma". A banca usa esse distrator para pegar quem não considera os casos com 2 ou 3 caras.

Alternativa C — ❌ Incorreta

50/125 não tem correspondência direta com o problema. Poderia ser um erro de cálculo ao tentar somar as probabilidades de 1, 2 e 3 caras, ou uma confusão com a probabilidade de sair cara em pelo menos um de dois lançamentos (que seria $1 - (3/5)^2 = 16/25 = 80/125$). Não há um caminho natural que leve a 50/125.

Alternativa D — ❌ Incorreta

27/125 é exatamente a probabilidade de não sair cara em nenhum lançamento, ou seja, sair coroa nas 3 vezes: $\left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125}$. O aluno que calcula apenas o complemento e esquece de subtrair de 1 cai nessa alternativa. É o erro clássico de responder a probabilidade do evento oposto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

18/125 não corresponde a nenhum cálculo direto. Poderia ser um erro ao calcular a probabilidade de sair exatamente duas caras: $3 \times \left(\frac{2}{5}\right)^2 \times \frac{3}{5} = 3 \times \frac{4}{25} \times \frac{3}{5} = \frac{36}{125}$, que também não é 18/125. Não há um caminho natural que leve a esse valor.

Gabarito: letra A