Questão de Matemática — Funções — FGV 2025

Função composta e operações sucessivas

Gabarito: letra C. A tecla P aplica a função $f(x) = 2x - 36$ três vezes seguidas. Se o resultado final é 0, então $f(f(f(x))) = 0$. Resolvendo de trás para frente: $2x - 36 = 0 \Rightarrow x = 18$; depois $2x - 36 = 18 \Rightarrow x = 27$; e finalmente $2x - 36 = 27 \Rightarrow x = 31{,}5$. Portanto, $31 \le x < 32$, o que corresponde à letra C.

A questão trabalha com a ideia de composição de funções aplicada a um contexto prático (uma calculadora). A cada aperto da tecla P, o número no visor é transformado pela função $f(x) = 2x - 36$. Apertar três vezes significa aplicar $f$ três vezes: $f(f(f(x)))$. Como o resultado final é 0, podemos "desfazer" as operações uma a uma, de trás para frente, para descobrir o valor inicial $x$.

O método mais direto é resolver de trás para frente (operação inversa). Se após o terceiro aperto o visor mostra 0, então antes do terceiro aperto o número era tal que $2 \cdot (\text{anterior}) - 36 = 0$. Resolvendo: $2 \cdot (\text{anterior}) = 36 \Rightarrow \text{anterior} = 18$. Esse é o valor que estava no visor após o segundo aperto. Repetindo o processo: antes do segundo aperto, o número era $2 \cdot (\text{anterior}) - 36 = 18 \Rightarrow 2 \cdot (\text{anterior}) = 54 \Rightarrow \text{anterior} = 27$. Esse é o valor após o primeiro aperto. Finalmente, antes do primeiro aperto (o valor inicial $x$): $2x - 36 = 27 \Rightarrow 2x = 63 \Rightarrow x = 31{,}5$.

Outra forma é montar a expressão algébrica da composição: $f(f(f(x))) = f(f(2x - 36)) = f(2(2x - 36) - 36) = f(4x - 108) = 2(4x - 108) - 36 = 8x - 252$. Igualando a 0: $8x - 252 = 0 \Rightarrow x = 31{,}5$. O resultado é o mesmo.

A pegadinha da banca está em não confundir a ordem das operações: a tecla P primeiro multiplica por 2 e depois subtrai 36. Se o candidato inverter a ordem (subtrair 36 e depois multiplicar por 2), o resultado seria diferente. Além disso, é comum o aluno tentar resolver "de frente", aplicando a função três vezes a $x$ e igualando a 0, o que também funciona, mas exige mais cuidado com a álgebra.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $29 \le x < 30$. Isso estaria correto se o valor inicial fosse menor. O cálculo correto dá $x = 31{,}5$, que está fora desse intervalo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $30 \le x < 31$. O valor $31{,}5$ não pertence a esse intervalo, pois é maior que 31.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor inicial é $x = 31{,}5$, que está no intervalo $31 \le x < 32$. Portanto, esta é a alternativa correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $32 \le x < 33$. O valor $31{,}5$ é menor que 32, então não pertence a esse intervalo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $33 \le x < 34$. O valor $31{,}5$ é bem menor que 33, portanto está fora desse intervalo.

Gabarito: letra C