Questão de Economia — Microeconomia — FGV 2025

Aversão ao risco e utilidade esperada

Gabarito: letra C. Para um consumidor avesso ao risco (função de utilidade côncava), vale a desigualdade de Jensen: $u(E[W]) > E[u(W)]$. Como a loteria tem valor esperado $E[W] = 100$ e a opção certa paga exatamente 100, a utilidade do valor certo é maior que a utilidade esperada da loteria — logo, ele prefere o valor certo. Essa é a essência da aversão ao risco: o consumidor prefere a renda certa a uma loteria com o mesmo valor esperado.

A teoria da utilidade esperada de Von Neumann–Morgenstern estabelece que o consumidor escolhe entre alternativas arriscadas comparando as utilidades esperadas de cada uma. A aversão ao risco é caracterizada por uma função de utilidade côncava, o que significa que a utilidade marginal da riqueza é decrescente: cada unidade adicional de riqueza gera um acréscimo de utilidade menor que a anterior. Por isso, a perda de utilidade ao perder uma unidade de riqueza é maior que o ganho de utilidade ao ganhar a mesma unidade — o que torna o risco algo indesejável.

A desigualdade de Jensen é o resultado matemático que formaliza isso: para uma função côncava $u$, a utilidade do valor esperado é sempre maior ou igual à utilidade esperada, com igualdade apenas quando a função é linear (neutralidade ao risco) ou quando a loteria não tem risco. No caso da questão, como a loteria tem valor esperado 100 e a opção certa paga 100, a comparação é direta: $u(100) > E[u(W)]$, pois a loteria tem alguma variabilidade em torno de 100.

A pegadinha da banca está em inverter o sentido da desigualdade: muitos candidatos lembram que "avesso ao risco prefere o certo", mas trocam os lados da desigualdade, escrevendo $E[u(W)] > u(E[W])$, que é a condição para um consumidor propenso ao risco (função convexa). A alternativa C acerta exatamente ao afirmar $u(E[W]) > E[u(W)]$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o consumidor escolherá a loteria porque $E[u(W)] > u(E[W])$ para funções côncavas. Isso está invertido: para funções côncavas (avessas ao risco), vale o contrário, $u(E[W]) > E[u(W)]$. A desigualdade $E[u(W)] > u(E[W])$ caracteriza funções convexas, ou seja, consumidores propensos ao risco. O erro é trocar o sinal da desigualdade, uma armadilha clássica.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o consumidor será indiferente porque a aversão ao risco decorre de $u$ linear. Isso é duplamente errado: (1) aversão ao risco decorre de função côncava, não linear; (2) função linear caracteriza neutralidade ao risco, em que o consumidor é indiferente entre a loteria e o valor certo (pois $u(E[W]) = E[u(W)]$). Como o enunciado diz que $u$ é côncava, ele não será indiferente — preferirá o valor certo.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que o consumidor preferirá o valor certo, pois para aversão ao risco vale $u(E[W]) > E[u(W)]$. Exatamente o que a teoria da utilidade esperada estabelece para funções côncavas. Como $E[W] = 100$ e a opção certa paga 100, temos $u(100) > E[u(W)]$, então a utilidade do valor certo é maior. O consumidor avesso ao risco prefere a renda certa a uma loteria com o mesmo valor esperado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o consumidor só preferirá a loteria se o prêmio de risco for zero, o que caracterizaria aversão ao risco. Há duas confusões: (1) o prêmio de risco é a quantidade de renda que o consumidor estaria disposto a abrir mão para ficar indiferente entre a loteria e o valor certo — se o prêmio de risco for zero, ele é neutro ao risco, não avesso; (2) um consumidor avesso ao risco nunca prefere a loteria a um valor certo igual ao valor esperado, pois $u(E[W]) > E[u(W)]$. A alternativa inverte o conceito de prêmio de risco.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que não é possível determinar a escolha sem conhecer a forma funcional exata de $u(W)$. Isso é falso: a concavidade de $u$ (dada no enunciado) já é suficiente para garantir, pela desigualdade de Jensen, que $u(E[W]) > E[u(W)]$ para qualquer loteria não degenerada. Não precisamos da forma funcional específica — apenas da concavidade. A escolha é determinada: prefere o valor certo.

Gabarito: letra C.