Matemática · FGV · 2025 | Questão sqc-fg106189

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 72 latas (alternativa A).

A ideia por trás

Este problema trata de proporcionalidade inversa entre preço e quantidade quando o orçamento é fixo. Se o preço de um produto cai, com o mesmo dinheiro compramos mais unidades; a quantidade nova é a quantidade antiga multiplicada pela razão inversa da queda de preço. Aqui, a promoção não dá desconto em todas as latas, apenas na segunda de cada par: a cada duas latas, paga-se o preço cheio de uma e apenas 1/3 do preço da outra (pois o desconto é de 2/3). Assim, o custo de um par é 1 + 1/3 = 4/3 do preço de uma lata, e o custo médio por lata é a metade disso: 2/3 do preço normal. Como o preço efetivo caiu para 2/3 do original, a quantidade comprada aumenta na razão inversa: 48 × 3/2 = 72. A pegadinha é aplicar o desconto sobre todas as latas, o que levaria a 80, mas o desconto é apenas sobre a segunda de cada par.

O que a questão dá

dinheiro para 48 latas ao preço normal
desconto de 2/3 na segunda lata

O que queremos: o número de latas que Vera consegue comprar com a promoção

Passo 1 — Calcular o custo de um par de latas

A promoção funciona em pares: a cada duas latas, uma é paga inteira e a outra com desconto. Precisamos saber quanto custa um par para depois achar o preço médio por lata.

Por que esta fórmula: O custo do par é a soma do preço da primeira lata (1) com o preço da segunda, que é 1/3 do preço normal (pois o desconto de 2/3 deixa apenas 1/3 a pagar).

C_{par} = 1 + \frac{1}{3}

De onde vem cada valor: $1$ = enunciado: preço normal de uma lata (tomado como unidade) · $\frac{1}{3}$ = enunciado: desconto de 2/3 na segunda lata, então paga-se 1 - 2/3 = 1/3

C_{par} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = \boxed{4\ /3 \text{do} \text{pre}ç\text{o} \text{de} \text{uma} \text{lata}}

NÃO CAIA NESSA!

Achar que o par custa 1 + 2/3 = 5/3, esquecendo que o desconto é sobre o preço, então paga-se 1/3, não 2/3.

Passo 2 — Achar o preço médio de cada lata

Com o custo do par, dividimos por 2 para saber quanto custa, em média, cada lata na promoção. Esse preço médio é o que usaremos para comparar com o preço normal.

Por que esta fórmula: O preço médio por lata é o custo total do par dividido pelo número de latas do par (2).

P_{medio} = \frac{C_{par}}{2}

De onde vem cada valor: $C_{par}$ = passo 1: 4/3 · $2$ = enunciado: cada par tem 2 latas

P_{medio} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{2}{3}

$P_{medio}$ = 2/3 do preço normal

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2 e usar 4/3 como preço por lata, o que daria um resultado errado.

Passo 3 — Calcular quantas latas cabem no orçamento

Com o preço médio reduzido a 2/3 do original, o mesmo dinheiro compra mais latas. Como o orçamento é fixo, a quantidade é inversamente proporcional ao preço: se o preço cai para 2/3, a quantidade sobe para 3/2.

Por que esta fórmula: O número de latas é o dinheiro total dividido pelo preço de cada lata. O dinheiro total é 48 vezes o preço normal (P). O preço médio é 2/3 de P. Então dividimos 48P por (2/3)P.

N = \frac{48P}{\frac{2}{3}P}

De onde vem cada valor: $48$ = enunciado: dinheiro para 48 latas ao preço normal · $P$ = enunciado: preço normal de uma lata (usado como unidade) · $\frac{2}{3}$ = passo 2: preço médio por lata

N = \frac{48}{\frac{2}{3}} = 48 \times \frac{3}{2} = 72 = \boxed{72\ \text{latas}}

NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar 48 por 2/3 em vez de dividir, obtendo 32, ou somar 48 + 32 = 80, que é o erro clássico de aplicar o desconto a todas as latas.

Resposta: 72 latas (alternativa A)

Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2025

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Calcular o custo de um par de latas

Passo 2 — Achar o preço médio de cada lata

Passo 3 — Calcular quantas latas cabem no orçamento