GabaritoD — 4.
Gabarito: letra D — a conta chega a 4 moedas de R$ 0,50 a mais — alternativa D..
Um sistema de equações do 1º grau é um conjunto de duas ou mais equações que compartilham as mesmas incógnitas. Aqui, as incógnitas são as quantidades de cada tipo de moeda. A primeira equação vem do total de moedas: a soma das quantidades é 16. A segunda vem do valor total: cada moeda de R$ 1,00 contribui com 1 real e cada de R$ 0,50 com 0,5 real, então a soma dos valores é 11. Resolver o sistema significa encontrar os valores de x e y que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. A relação que governa é a combinação linear: o valor total é a soma dos produtos de cada quantidade pelo seu valor unitário. Quando uma quantidade aumenta, a outra deve diminuir para manter o total de moedas fixo, e o valor total também muda. Nesta questão, precisamos montar as duas equações, resolver para x e y, e então calcular a diferença pedida.
total de moedas = 16
valor total = R$ 11,00
moedas de R$ 1,00 e R$ 0,50
O que queremos: a diferença entre o número de moedas de R$ 0,50 e o de R$ 1,00
Precisamos nomear as quantidades desconhecidas para poder escrever as equações. Chamar de x o número de moedas de R$ 1,00 e de y o número de moedas de R$ 0,50 é o primeiro passo para traduzir o problema em linguagem matemática.
Trocar as definições: usar x para as de R$ 0,50 e y para as de R$ 1,00, o que não é errado, mas pode confundir na hora de montar as equações.
O enunciado diz que o total de moedas é 16. Isso significa que a soma das quantidades de cada tipo é 16. Essa é uma das duas informações independentes que temos, e ela vira a primeira equação do sistema.
Por que esta fórmula: A equação x + y = 16 expressa que o número de moedas de R$ 1,00 mais o número de moedas de R$ 0,50 é igual ao total de moedas. É a relação direta entre as quantidades.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 1 · = enunciado: total de moedas
Esquecer que a soma é 16 e usar outro número, como 11, confundindo com o valor total.
A segunda informação é o valor total de R$ 11,00. Cada moeda de R$ 1,00 contribui com 1 real e cada de R$ 0,50 com 0,5 real. Precisamos multiplicar cada quantidade pelo seu valor para obter a contribuição total.
Por que esta fórmula: A equação x + 0,5y = 11 vem do fato de que o valor total é a soma dos valores de cada moeda: x moedas de R$ 1,00 valem x reais, e y moedas de R$ 0,50 valem 0,5y reais. Essa é a relação entre quantidades e valor.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = enunciado: valor de cada moeda de R$ 0,50 · = passo 1 · = enunciado: valor total
Escrever x + y = 11, esquecendo de multiplicar y por 0,5. Isso daria um sistema sem solução inteira.
Para resolver o sistema, um método é substituir uma incógnita. Isolar x na equação x + y = 16 nos dá x em função de y, que poderemos usar na segunda equação.
Por que esta fórmula: Subtraindo y dos dois lados da equação, obtemos x = 16 - y. Isso é uma manipulação algébrica válida para expressar x em termos de y.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 1
Errar o sinal: escrever x = y - 16, o que inverteria a relação.
Agora que temos x em função de y, substituímos na equação do valor total. Isso transforma a equação em uma só incógnita, permitindo encontrar y.
Por que esta fórmula: Substituindo x por 16 - y na equação x + 0,5y = 11, obtemos (16 - y) + 0,5y = 11. Essa é a técnica de substituição para resolver sistemas.
De onde vem cada valor: = passo 4 · = passo 3 · = passo 3
Não distribuir o sinal: esquecer que -y + 0,5y = -0,5y, e não -1,5y.
A equação do passo anterior tem apenas y como incógnita. Vamos simplificá-la e isolar y para descobrir quantas moedas de R$ 0,50 existem.
Por que esta fórmula: Combinando os termos com y: 16 - y + 0,5y = 16 - 0,5y. Igualando a 11, temos 16 - 0,5y = 11. Subtraindo 16 dos dois lados: -0,5y = -5. Dividindo por -0,5: y = 10.
De onde vem cada valor: = passo 3 · = passo 2 · = passo 5
Errar o sinal ao dividir: esquecer que -5 dividido por -0,5 é positivo.
Com y conhecido, voltamos à equação x = 16 - y para encontrar o número de moedas de R$ 1,00.
Por que esta fórmula: Substituindo y = 10 em x = 16 - y, obtemos x = 16 - 10 = 6. Essa é a segunda parte da solução do sistema.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 6
Usar y = 10 na equação errada, como x + 0,5y = 11, o que daria x = 6 também, mas é mais direto usar a primeira.
A questão não pergunta as quantidades, mas a diferença entre elas. Com x = 6 e y = 10, calculamos y - x.
Por que esta fórmula: A diferença é y - x, pois queremos quantas moedas de R$ 0,50 a mais do que as de R$ 1,00. Substituindo: 10 - 6 = 4.
De onde vem cada valor: = passo 6 · = passo 7
Calcular x - y = 6 - 10 = -4, esquecendo que a pergunta é 'a mais', então deve ser positivo.
Resposta: 4 moedas de R$ 0,50 a mais — alternativa D.
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