Questão de Matemática — Álgebra Linear — FGV 2025

Matriz de projeto com posto deficiente e o problema do datum

Gabarito: letra A. Quando a matriz de projeto $A$ tem posto deficiente ($\text{rank}(A) <$ número de colunas), a matriz normal $A^T P A$ é singular, o que torna o sistema de equações normais sem solução única — é necessário impor condições suplementares (datum) para obter uma solução. Essa é a consequência direta da teoria de mínimos quadrados aplicada a problemas de ajustamento.

O enunciado trata de um problema clássico de ajustamento de observações (muito comum em Geodésia, Topografia e Fotogrametria), onde se busca estimar parâmetros $x$ a partir de observações $l$ por meio do modelo $A x = l + v$, com $v$ sendo o vetor de resíduos. A solução de mínimos quadrados, quando a matriz de pesos $P$ é simétrica e definida positiva, é obtida resolvendo o sistema de equações normais:

A matriz $N = A^T P A$ é chamada de matriz normal. Para que a solução seja única, $N$ precisa ser não singular (invertível), o que ocorre se, e somente se, $A$ tem posto coluna completo, ou seja, $\text{rank}(A) = n$ (número de colunas). Quando isso não acontece — posto deficiente — a matriz normal é singular e o sistema não tem solução única.

Nesse caso, existem infinitas soluções para o sistema de equações normais (o sistema é possível e indeterminado). Para obter uma solução particular, é necessário impor condições suplementares, conhecidas como datum, que fixam o referencial ou eliminam a ambiguidade do problema. Essas condições podem ser, por exemplo, fixar alguns parâmetros, impor restrições de mínimo (como a solução de norma mínima) ou usar a pseudo-inversa de Moore-Penrose.

A alternativa A captura exatamente essa consequência: a singularidade de $A^T P A$ e a necessidade de impor datum. As demais alternativas apresentam erros conceituais, como veremos a seguir.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa afirma que $A^T P A$ é singular e que é necessário impor condições suplementares (datum) para obter a solução. Isso está correto.

Quando $\text{rank}(A) < n$, o posto de $A^T P A$ também é menor que $n$ (desde que $P$ seja definida positiva), logo $\det(A^T P A) = 0$ e a matriz é singular. O sistema de equações normais $A^T P A \, x = A^T P l$ passa a ter infinitas soluções (ou nenhuma, se o sistema for inconsistente, mas no contexto de ajustamento normalmente há solução). Para selecionar uma solução única, impõem-se condições de datum, que são restrições adicionais sobre os parâmetros (por exemplo, fixar a posição de um ponto de referência em redes geodésicas).

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o sistema é inconsistente e não há solução sob nenhuma restrição. Errado.

Posto deficiente não implica inconsistência. O sistema $A x = l$ pode ser consistente (ter solução) mesmo com posto deficiente — nesse caso, terá infinitas soluções. A inconsistência é outra propriedade, relacionada ao vetor de observações $l$ não pertencer ao espaço coluna de $A$. Além disso, mesmo que o sistema original seja inconsistente, o problema de mínimos quadrados sempre tem solução (a solução de mínimos quadrados existe para qualquer $l$), e com datum é possível obter uma solução única.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que há solução única, mas não se podem calcular resíduos. Errado.

Com posto deficiente, não há solução única — há infinitas soluções (ou nenhuma, se inconsistente). Além disso, os resíduos podem ser calculados normalmente a partir de qualquer solução: $v = A x - l$. A impossibilidade de calcular resíduos não tem relação com o posto da matriz.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a singularidade é neutralizada pelos resíduos e não afeta a solução. Errado.

Os resíduos não têm o poder de "neutralizar" a singularidade da matriz normal. A singularidade é uma propriedade algébrica da matriz $A^T P A$ e afeta diretamente a unicidade da solução. Os resíduos são consequência da solução adotada, não uma correção para o problema de posto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que basta escolher $P = I$ que o problema desaparece. Errado.

A matriz de pesos $P$ não altera o posto de $A$. Se $A$ tem posto deficiente, $A^T A$ (que é o caso $P = I$) também será singular. A escolha de $P$ influencia a solução de mínimos quadrados, mas não pode corrigir a deficiência de posto. O problema persiste independentemente de $P$.

Gabarito: letra A — a única alternativa que descreve corretamente a consequência do posto deficiente: singularidade de $A^T P A$ e necessidade de datum.