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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2025

MatemáticaProbabilidade
Código
fg118013
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de Canaã dos Carajás - PA
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Pedagogo
Por defeito de fabricação, uma moeda apresenta probabilidades diferentes de dar cara e de dar coroa como resultado de um lançamento.Sabe-se que a probabilidade de o resultado dar coroa é 25% maior do que a probabilidade de se obter cara após um lançamento.Se essa moeda for lançada duas vezes seguidas, a probabilidade de termos resultados diferentes é
  1. A20/81.
  2. B40/81.
  3. C40/100.
  4. D30/121.
  5. E60/121.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 40/81.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 40/81 (alternativa B).

A ideia por trás

A probabilidade mede a chance de um evento ocorrer, variando de 0 (impossível) a 1 (certo). Quando dois eventos são independentes, a chance de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais. Quando dois eventos são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer juntos), a chance de um ou outro ocorrer é a soma das probabilidades. Nesta questão, precisamos primeiro descobrir as probabilidades de cada face da moeda viciada, usando a relação de que coroa é 25% maior que cara, e depois combinar as probabilidades para os dois lançamentos.

O que a questão dá

  • probabilidade de coroa é 25% maior que a de cara

  • dois lançamentos independentes

O que queremos: a probabilidade de obter resultados diferentes nos dois lançamentos

Passo 1 — Montar o sistema de probabilidades

Precisamos descobrir as probabilidades de cara e coroa. Como a moeda só tem dois resultados, a soma das probabilidades é 1. Além disso, o enunciado diz que coroa é 25% maior que cara, o que se traduz em uma equação multiplicativa.

Por que esta fórmula: A relação '25% maior' significa que a probabilidade de coroa é igual à de cara mais 25% da de cara, ou seja, 1,25 vezes a de cara. Por isso usamos P(Coroa) = 1,25 · P(Cara).

{P(Cara)+P(Coroa)=1P(Coroa)=1,25⋅P(Cara)\begin{cases} P(Cara) + P(Coroa) = 1 \\ P(Coroa) = 1{,}25 \cdot P(Cara) \end{cases}

De onde vem cada valor: P(Cara)P(Cara) = incógnita · P(Coroa)P(Coroa) = incógnita · 1,251{,}25 = enunciado: 25% maior, ou seja, 1 + 0,25

NÃO CAIA NESSA!

Interpretar '25% maior' como P(Coroa) = P(Cara) + 0,25, o que leva a um sistema sem solução correta.

Passo 2 — Substituir e achar a probabilidade de cara

Com as duas equações, podemos substituir a segunda na primeira para obter uma equação só com P(Cara). Isso nos permite calcular o valor exato.

Por que esta fórmula: Substituímos P(Coroa) por 1,25·P(Cara) na equação da soma, pois assim ficamos com uma única incógnita.

P(Cara)+1,25⋅P(Cara)=1P(Cara) + 1{,}25 \cdot P(Cara) = 1

De onde vem cada valor: P(Cara)P(Cara) = passo 1 · 1,251{,}25 = passo 1 · 11 = passo 1: soma das probabilidades

P(Cara)+1,25⋅P(Cara)=1P(Cara) + 1{,}25 \cdot P(Cara) = 1
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os coeficientes de P(Cara) corretamente: 1 + 1,25 = 2,25.

Passo 3 — Resolver a equação para P(Cara)

Agora temos uma equação linear simples. Isolamos P(Cara) dividindo ambos os lados por 2,25.

Por que esta fórmula: Para isolar a incógnita, dividimos ambos os lados da equação pelo coeficiente de P(Cara), que é 2,25.

P(Cara)=12,25P(Cara) = \frac{1}{2{,}25}

De onde vem cada valor: 11 = passo 2: lado direito da equação · 2,252{,}25 = passo 2: coeficiente de P(Cara)

P(Cara)=12,25=4 /9P(Cara) = \frac{1}{2{,}25} = \boxed{4\ /9}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão 1/2,25; lembre que 2,25 = 9/4, então 1/(9/4) = 4/9.

Passo 4 — Calcular a probabilidade de coroa

Com P(Cara) conhecido, usamos a relação do enunciado para achar P(Coroa).

Por que esta fórmula: Como P(Coroa) = 1,25 · P(Cara), basta multiplicar o valor encontrado.

P(Coroa)=1,25⋅P(Cara)P(Coroa) = 1{,}25 \cdot P(Cara)

De onde vem cada valor: 1,251{,}25 = enunciado: 25% maior · P(Cara)P(Cara) = passo 3: 4/9

P(Coroa)=1,25⋅49=5 /9P(Coroa) = 1{,}25 \cdot \frac{4}{9} = \boxed{5\ /9}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de simplificar: 1,25 · 4/9 = 5/9, não 5/9? Confira a conta.

Passo 5 — Calcular a probabilidade de uma sequência específica

Para ter resultados diferentes, uma possibilidade é cara no primeiro lançamento e coroa no segundo. Como os lançamentos são independentes, multiplicamos as probabilidades.

Por que esta fórmula: Eventos independentes: a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais.

P(Cara e Coroa)=P(Cara)⋅P(Coroa)P(Cara \text{ e } Coroa) = P(Cara) \cdot P(Coroa)

De onde vem cada valor: P(Cara)P(Cara) = passo 3: 4/9 · P(Coroa)P(Coroa) = passo 4: 5/9

P(Cara e Coroa)=49⋅59=20 /81P(Cara \text{ e } Coroa) = \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{9} = \boxed{20\ /81}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que há duas ordens possíveis; este é apenas um dos casos.

Passo 6 — Somar as duas ordens possíveis

Resultados diferentes podem ocorrer de duas formas: cara-depois-coroa ou coroa-depois-cara. Como são mutuamente exclusivos, somamos as probabilidades.

Por que esta fórmula: Eventos mutuamente exclusivos: a probabilidade de um ou outro é a soma das probabilidades individuais.

P(diferentes)=P(Cara e Coroa)+P(Coroa e Cara)P(\text{diferentes}) = P(Cara \text{ e } Coroa) + P(Coroa \text{ e } Cara)

De onde vem cada valor: P(Cara e Coroa)P(Cara \text{ e } Coroa) = passo 5: 20/81 · P(Coroa e Cara)P(Coroa \text{ e } Cara) = passo 5 (mesmo valor, pois a multiplicação é comutativa): 20/81

P(diferentes)=2081+2081=40 /81P(\text{diferentes}) = \frac{20}{81} + \frac{20}{81} = \boxed{40\ /81}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular apenas uma sequência e esquecer de multiplicar por 2, caindo na alternativa A.

Resposta: 40/81 (alternativa B)

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