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Questão de Matemática — Triângulos — FGV 2025

MatemáticaTriângulos
Código
fg118018
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de Canaã dos Carajás - PA
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Pedagogo
Considere um hexágono regular de lados AB, BC, CD, DE, EF e FA.As diagonais FB e FD formam um ângulo agudo com vértice em F, cuja medida é
  1. A30°.
  2. B40°.
  3. C45°.
  4. D60°.
  5. E75°.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 60°.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 60° (alternativa D).

A ideia por trás

Um hexágono regular é um polígono de seis lados iguais e seis ângulos internos iguais. Ele pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros, traçando segmentos do centro até cada vértice. Cada triângulo equilátero tem todos os ângulos medindo 60°. A relação fundamental é que, em um hexágono regular, as diagonais que ligam vértices separados por dois lados (como FB e FD) formam triângulos equiláteros com o vértice comum. Nesta questão, o ângulo entre FB e FD é exatamente o ângulo interno de um triângulo equilátero, portanto mede 60°.

O que a questão dá

  • hexágono regular de lados AB, BC, CD, DE, EF e FA

  • diagonais FB e FD com vértice em F

O que queremos: a medida do ângulo agudo entre as diagonais FB e FD

Passo 1 — Calcular o ângulo interno do hexágono

Precisamos saber o ângulo interno do hexágono para entender a relação entre as diagonais. A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é 180° × (n-2). Para o hexágono (n=6), isso dá 720°, e dividindo por 6 obtemos cada ângulo interno.

Por que esta fórmula: A fórmula da soma dos ângulos internos é padrão para polígonos convexos: S = 180° × (n-2). Como o hexágono é regular, todos os ângulos são iguais, então dividimos a soma pelo número de lados.

S=180∘×(n−2)S = 180^\circ \times (n-2)

De onde vem cada valor: nn = enunciado: hexágono tem 6 lados

S=180∘×(6−2)=180∘×4=720∘S = 180^\circ \times (6-2) = 180^\circ \times 4 = 720^\circ

SS = 720° (soma dos ângulos internos)

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 2 antes de multiplicar, resultando em 1080°.

Passo 2 — Descobrir o ângulo interno individual

Agora que temos a soma, dividimos pelo número de lados para achar cada ângulo interno. Isso nos dá o ângulo em cada vértice, que será útil para entender a geometria das diagonais.

Por que esta fórmula: Como o hexágono é regular, todos os ângulos internos são iguais, então dividimos a soma total por 6.

aˆngulo interno=Sn\text{ângulo interno} = \frac{S}{n}

De onde vem cada valor: SS = passo 1: 720° · nn = enunciado: 6 lados

aˆngulo interno=720∘6=120∘=120 ∘\text{ângulo interno} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ = \boxed{120\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir por 5 ou usar a fórmula errada.

Passo 3 — Reconhecer os triângulos equiláteros

A propriedade-chave do hexágono regular é que ele pode ser dividido em seis triângulos equiláteros. Isso acontece porque os lados são iguais e os ângulos centrais são 60°. Essa decomposição nos ajuda a ver que as diagonais FB e FD formam triângulos equiláteros.

NÃO CAIA NESSA!

Não perceber que os triângulos formados são equiláteros, tentando calcular por outros métodos.

Passo 4 — Identificar o triângulo FBD

As diagonais FB e FD, junto com o lado BD, formam o triângulo FBD. Precisamos analisar esse triângulo para achar o ângulo em F. Como o hexágono é regular, os segmentos FB, FD e BD são todos iguais (cada um é uma diagonal que pula um vértice), então o triângulo é equilátero.

NÃO CAIA NESSA!

Achar que FB e FD têm comprimentos diferentes, mas no hexágono regular todas as diagonais que pulam um vértice têm o mesmo comprimento.

Passo 5 — Concluir que o ângulo mede 60°

Como o triângulo FBD é equilátero, todos os seus ângulos internos medem 60°. O ângulo em F é um deles, então a resposta é 60°.

Por que esta fórmula: Em um triângulo equilátero, todos os ângulos são iguais e a soma é 180°, então cada um mede 180°/3 = 60°.

aˆngulo=180∘3\text{ângulo} = \frac{180^\circ}{3}

De onde vem cada valor: 180∘180^\circ = soma dos ângulos internos de qualquer triângulo · 33 = número de ângulos do triângulo

aˆngulo=180∘3=60∘=60 ∘\text{ângulo} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ = \boxed{60\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com o ângulo central de 60° ou com o ângulo interno de 120°.

Resposta: 60° (alternativa D)

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