Questão de Matemática — Matrizes — FGV 2025

Multiplicação de Matrizes

Gabarito: letra C. O produto $A \cdot B$, com $A$ sendo uma matriz $3 \times 3$ e $B$ uma matriz $3 \times 1$, resulta em uma matriz $C$ do tipo $3 \times 1$. O elemento $C_{3,1}$ é obtido multiplicando os elementos da terceira linha de $A$ pelos elementos da única coluna de $B$ e somando os produtos. Como a matriz $A$ é a identidade, o resultado é exatamente o elemento $b_{3,1}$.

A multiplicação de matrizes é uma operação que combina linhas da primeira matriz com colunas da segunda. Para que o produto $A \cdot B$ exista, o número de colunas de $A$ deve ser igual ao número de linhas de $B$. No caso, $A$ é $3 \times 3$ e $B$ é $3 \times 1$, então o produto é possível e o resultado terá o número de linhas de $A$ (3) e o número de colunas de $B$ (1), ou seja, será uma matriz $3 \times 1$.

O elemento $C_{i,j}$ da matriz produto é calculado pela soma dos produtos dos elementos da linha $i$ de $A$ pelos elementos correspondentes da coluna $j$ de $B$. Por exemplo, $C_{1,1} = a_{1,1} \cdot b_{1,1} + a_{1,2} \cdot b_{2,1} + a_{1,3} \cdot b_{3,1}$.

A matriz $A$ fornecida é a matriz identidade de ordem 3, que possui 1 na diagonal principal e 0 nos demais elementos. Multiplicar qualquer matriz pela identidade (à esquerda ou à direita, quando possível) resulta na própria matriz. Portanto, $A \cdot B = I_3 \cdot B = B$. Isso significa que cada elemento $C_{i,1}$ é igual ao elemento correspondente $b_{i,1}$.

A pegadinha da questão está em verificar qual elemento de $B$ corresponde a cada elemento de $C$. Como $C = B$, temos $C_{1,1} = b_{1,1}$, $C_{2,1} = b_{2,1}$ e $C_{3,1} = b_{3,1}$. A alternativa correta é a que afirma $C_{3,1} = b_{3,1}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $C_{1,1} = b_{1,1}$. Isso é verdadeiro, mas a questão pede o elemento $C_{3,1}$, não o $C_{1,1}$. A alternativa está correta em si, mas não responde ao que foi perguntado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $C_{2,1} = b_{2,1}$. Assim como a alternativa A, isso é verdadeiro, mas não é o elemento $C_{3,1}$ que a questão pede.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que $C_{3,1} = b_{3,1}$. Como $A$ é a matriz identidade, o produto $A \cdot B$ resulta na própria matriz $B$. Portanto, o elemento da terceira linha e primeira coluna de $C$ é exatamente o elemento da terceira linha de $B$, ou seja, $b_{3,1}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $C_{1,1} = b_{3,1}$. Isso é falso, pois $C_{1,1}$ é igual a $b_{1,1}$, não a $b_{3,1}$. A alternativa confunde os índices das linhas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $C_{3,1} = b_{2,1}$. Isso é falso, pois $C_{3,1}$ é igual a $b_{3,1}$, não a $b_{2,1}$. A alternativa troca o índice da linha de $B$.

Gabarito: letra C