Questão de Matemática — Progressões — FGV 2025

Progressões: PA e PG

Gabarito: letra D. O sexto termo é, necessariamente, múltiplo de 4. Isso porque, se a sequência for uma PA de razão 3 com terceiro termo 7, o sexto termo será 16; se for uma PG com terceiro termo 3 e quinto termo 12, o sexto termo será 24 (ou −24). Em qualquer cenário, o sexto termo é múltiplo de 4.

A questão apresenta uma sequência que pode ser uma progressão aritmética (PA) ou uma progressão geométrica (PG), com condições específicas para cada caso. Vamos analisar as duas possibilidades separadamente.

Caso PA:

• Razão $r = 3$ e terceiro termo $a_3 = 7$.

• Usando o termo geral da PA: $a_n = a_1 + (n-1)r$.

• Temos $a_3 = a_1 + 2 \cdot 3 = 7 \Rightarrow a_1 = 1$.

• Então o sexto termo: $a_6 = a_1 + 5 \cdot 3 = 1 + 15 = 16$.

Caso PG:

• Terceiro termo $a_3 = 3$ e quinto termo $a_5 = 12$.

• Usando o termo geral da PG: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

• Temos $a_5 = a_3 \cdot q^{2} \Rightarrow 12 = 3 \cdot q^2 \Rightarrow q^2 = 4 \Rightarrow q = \pm 2$.

• Se $q = 2$: $a_6 = a_5 \cdot q = 12 \cdot 2 = 24$.

• Se $q = -2$: $a_6 = a_5 \cdot q = 12 \cdot (-2) = -24$.

Portanto, o sexto termo pode ser 16, 24 ou −24. Todos são múltiplos de 4. A alternativa D é a única que se aplica a todos os casos.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o sexto termo é maior do que 20. Isso é falso porque, no caso da PA, o sexto termo é 16, que é menor do que 20. Portanto, não é necessariamente maior que 20.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o sexto termo é menor do que 17. Isso é falso porque, no caso da PG com razão positiva, o sexto termo é 24, que é maior do que 17. Portanto, não é necessariamente menor que 17.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o sexto termo é múltiplo de 6. Isso é falso porque, no caso da PA, o sexto termo é 16, que não é múltiplo de 6. Portanto, não é necessariamente múltiplo de 6.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que o sexto termo é múltiplo de 4. Isso é verdadeiro porque, em todos os casos possíveis (16, 24 ou −24), o sexto termo é divisível por 4. Portanto, é necessariamente múltiplo de 4.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o sexto termo é múltiplo de 3. Isso é falso porque, no caso da PA, o sexto termo é 16, que não é múltiplo de 3. Portanto, não é necessariamente múltiplo de 3.

Gabarito: letra D