Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2025

Tamanho mínimo de amostra para estimar a média

Gabarito: letra A (961). Para estimar a média populacional com margem de erro $e = 0{,}2$, variância populacional $\sigma^2 = 10$ e confiança de 95% ($z = 1{,}96$), o tamanho mínimo da amostra é dado por $n = \left(\frac{z \cdot \sigma}{e}\right)^2 = \left(\frac{1{,}96 \cdot \sqrt{10}}{0{,}2}\right)^2 \approx 960{,}4$, que arredondado para cima resulta em 961. A população de 1.000.000 de unidades é grande o suficiente para que o fator de correção para população finita seja desprezível, não alterando o resultado.

A questão cobra o cálculo do tamanho de amostra para estimar a média de uma população com variância conhecida, usando amostragem aleatória simples (AAS). O ponto central é a fórmula que relaciona a margem de erro do intervalo de confiança com o tamanho da amostra.

A fórmula: para uma população de tamanho $N$ (finita), o tamanho da amostra necessário para estimar a média $\mu$ com margem de erro $e$ e confiança $1-\alpha$ é:

Quando $N$ é muito grande (como 1.000.000), o termo $N \cdot e^2$ domina o denominador e a fórmula se aproxima de:

Essa é a fórmula para população infinita (ou sem reposição com $N$ grande). Como $N = 10^6$ é enorme, o fator de correção para população finita (que reduziria levemente o tamanho) é desprezível — o resultado arredondado continua 961.

Substituindo os valores:

• $z = 1{,}96$ (valor crítico da normal para 95% de confiança, bilateral)

• $\sigma = \sqrt{10} \approx 3{,}1623$

• $e = 0{,}2$

Como o tamanho da amostra deve ser inteiro e a margem de erro não pode ultrapassar 0,2, arredondamos para cima: $n = 961$.

Por que não usar a fórmula com correção para população finita? Se aplicássemos a fórmula exata com $N = 1.000.000$, obteríamos:

Arredondando para cima, ainda dá 960? Não — 959,48 arredonda para 960, mas a banca considera 961. Isso porque a fórmula simplificada (população infinita) é a mais usada em provas quando $N$ é grande, e o arredondamento de 960,4 para cima dá 961. A diferença entre 960 e 961 é irrelevante na prática, mas a banca adota a fórmula sem correção, que é a padrão para AAS com reposição ou população infinita.

Pegadinha: A banca explora a confusão entre usar a fórmula com correção para população finita e a fórmula simplificada. Como $N$ é enorme (1.000.000), a correção é desprezível, e o candidato que tenta aplicá-la pode obter 960 e marcar a alternativa errada. O correto é usar a fórmula $n = (z\sigma/e)^2$ e arredondar para cima, resultando em 961.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a fórmula $n = \left(\frac{z \cdot \sigma}{e}\right)^2$ com $z=1{,}96$, $\sigma=\sqrt{10}$ e $e=0{,}2$, obtemos $n \approx 960{,}4$, que arredondado para cima dá 961. É o valor que garante margem de erro ≤ 0,2 com 95% de confiança.

Alternativa B — ❌ Incorreta

1249 não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados. Se o candidato usasse $z=1{,}96$, $\sigma^2=10$ e $e=0{,}2$, não chegaria a esse número. Provavelmente é um distrator aleatório.

Alternativa C — ❌ Incorreta

2401 é o quadrado de 49 ($49^2 = 2401$). Esse número surgiria se o candidato usasse $z \approx 2{,}58$ (confiança de 99%) e $\sigma=3$ (arredondando $\sqrt{10}$ para 3), ou seja, $n = (2{,}58 \times 3 / 0{,}2)^2 \approx 1497$, não 2401. Na verdade, 2401 = $7^4$, mas não tem relação com os dados. É um distrator.

Alternativa D — ❌ Incorreta

5400 não tem relação com o cálculo. Se o candidato usasse $z=1{,}96$, $\sigma^2=10$ e $e=0{,}1$ (metade da margem), obteria $n = (1{,}96 \times 3{,}1623 / 0{,}1)^2 \approx 3841$, não 5400. É um distrator.

Alternativa E — ❌ Incorreta

9600 é 10 vezes o valor correto (960). Se o candidato esquecesse de elevar ao quadrado na fórmula, obteria $z \cdot \sigma / e = 30{,}99$, e multiplicando por 10 (ou confundindo com $\sigma^2$ no lugar de $\sigma$) chegaria a 9600. É um distrator clássico de ordem de grandeza.

Gabarito: letra A