Questão de Estatística — Modelos lineares — FGV 2025

Pontos influentes e alavancagem na regressão linear

Gabarito: letra B. O comportamento descrito — o coeficiente da variável "horas de treinamento" mudar drasticamente quando um único funcionário é removido — é a definição operacional de um ponto influente: uma observação que, por sua posição extrema na variável preditora (alta alavancagem), exerce grande impacto sobre o ajuste do modelo. A alternativa B captura exatamente essa combinação: alta alavancagem + alteração substancial do ajuste.

Para entender a questão, é preciso distinguir três conceitos que a banca mistura deliberadamente: outlier, alavancagem e influência. Um outlier é uma observação com resíduo grande — ou seja, o modelo ajustado não consegue explicá-la bem. A alavancagem mede o quanto o valor da variável preditora de uma observação se afasta da média dos demais: quanto mais extrema a posição em X, maior a alavancagem. Já a influência é o efeito combinado: uma observação é influente quando sua presença altera substancialmente os coeficientes estimados. A pegadinha central é que nem todo outlier é influente (um outlier com baixa alavancagem pode não mudar o ajuste) e nem todo ponto de alta alavancagem é outlier (um ponto extremo em X pode estar perfeitamente alinhado com a tendência dos demais). O ponto descrito no enunciado é influente porque, ao ser removido, o coeficiente muda drasticamente — e isso só ocorre porque ele tem alta alavancagem, ou seja, está longe do centro da nuvem de pontos em X.

A razão pela qual a banca explora esse tema é que a análise de resíduos e de pontos influentes é parte essencial da validação de um modelo de regressão. Ferramentas como a distância de Cook e o leverage (alavancagem) são usadas exatamente para detectar observações que, sozinhas, podem distorcer as conclusões do estudo. No caso, o pesquisador fez a análise correta ao verificar a sensibilidade do coeficiente à remoção do ponto — é assim que se identifica um ponto influente na prática.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o ponto é um outlier sem influência nos resultados. O enunciado diz o oposto: o coeficiente mudou drasticamente com a remoção do ponto, o que é a própria definição de influência. Um outlier sem influência teria resíduo grande, mas sua remoção não alteraria os coeficientes de forma substancial.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Descreve exatamente o caso: um ponto influente, com alta alavancagem, que altera substancialmente o ajuste do modelo. A alta alavancagem (posição extrema em X) é o que dá a esse ponto o poder de "puxar" a reta de regressão em sua direção, fazendo o coeficiente mudar drasticamente quando ele é removido.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Diz que é uma observação típica com erro de medida aleatório. Uma observação típica não causaria mudança drástica no coeficiente ao ser removida. Além disso, o enunciado não menciona erro de medida — o ponto se destaca pelo valor extremo, não por um erro de aferição.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o ponto tem resíduo grande e alta alavancagem, mas que isso "melhora a eficiência do estimador". Há dois erros: primeiro, o enunciado não diz que o resíduo é grande (o ponto pode até estar bem ajustado à reta); segundo, alta alavancagem não melhora a eficiência do estimador — pelo contrário, um ponto influente tende a distorcer as estimativas, aumentando a variância e o viés potencial do modelo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o ponto tem baixa alavancagem e atribui a mudança à multicolinearidade. A baixa alavancagem é incompatível com a mudança drástica do coeficiente — se o ponto estivesse próximo do centro dos dados, sua remoção teria pouco efeito. Além disso, a multicolinearidade é um fenômeno que envolve a relação entre as variáveis preditoras, não o efeito de uma observação individual.

Gabarito: letra B.