Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2025

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 372 (alternativa D).

A ideia por trás

A média aritmética de um conjunto de números é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de elementos. Ela indica o valor típico do conjunto: se todos os números fossem iguais, cada um seria igual à média. Aqui, com média 50 e 8 números, a soma total é fixa: 50 × 8 = 400. Como a soma é constante, para que um dos números seja o maior possível, os outros sete devem ser os menores possíveis, respeitando as condições do enunciado: são inteiros, positivos (maiores que 0) e todos diferentes entre si. O menor inteiro positivo é 1; como os números devem ser distintos, os sete menores possíveis são 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. A soma deles é 28. Subtraindo essa soma do total, obtemos o maior valor possível para o oitavo número: 400 − 28 = 372. Esse valor é maior que todos os outros, então a condição de serem diferentes é satisfeita. A pegadinha clássica é esquecer que os números devem ser diferentes e usar sete números iguais a 1, o que daria 400 − 7 = 393 (que nem aparece nas alternativas). Outra armadilha é considerar o zero como permitido, mas o enunciado diz "maiores do que 0", então o menor número é 1. A banca também poderia tentar confundir com a soma dos 7 primeiros números naturais (incluindo o zero), que é 21, levando a 400 − 21 = 379 — mas isso violaria a condição de positividade.

O que a questão dá

• média aritmética = 50

• quantidade de números = 8

• números inteiros, positivos e diferentes entre si

O que queremos: o maior número possível entre os 8 números

Passo 1 — Calcular a soma total dos 8 números

A média é a soma dividida pela quantidade. Para descobrir o maior número possível, precisamos saber quanto vale a soma de todos os números, pois ela é fixa e limita o valor máximo de cada um.

Por que esta fórmula: A definição de média aritmética: média = soma / quantidade. Multiplicando a média pela quantidade, obtemos a soma total.

De onde vem cada valor: $\bar{x}$ = enunciado: média = 50 · $n$ = enunciado: 8 números

Passo 2 — Escolher os 7 menores números possíveis

Para maximizar um número, os outros devem ser os menores possíveis. Como os números são inteiros, positivos e diferentes, os menores são 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Precisamos listá-los para somá-los.

Passo 3 — Somar os 7 menores números

Precisamos saber quanto somam os outros sete números para subtrair do total e achar o maior.

Por que esta fórmula: A soma dos primeiros n inteiros positivos é n(n+1)/2, mas aqui é mais simples somar diretamente: 1+2+3+4+5+6+7.

De onde vem cada valor: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ = passo 2

Passo 4 — Subtrair a soma dos menores do total

A soma total é fixa (400). Se os outros sete somam 28, o oitavo número é o que sobra: 400 − 28. Esse é o maior valor possível, pois qualquer outro número menor deixaria os outros maiores, reduzindo o máximo.

Por que esta fórmula: O maior número é a diferença entre a soma total e a soma dos outros sete.

De onde vem cada valor: $S_{total}$ = passo 1: 400 · $S_{menores}$ = passo 3: 28

Resposta: 372 (alternativa D)