Questão de Raciocínio Lógico — Raciocínio Matemático — FGV 2025

Pontuação mínima garantida em série de corridas

Gabarito: letra B (15 pontos). Para ter certeza de que um atleta fará mais pontos do que qualquer outro, ele precisa de uma pontuação tal que, mesmo no pior cenário possível de distribuição dos pontos restantes, nenhum outro atleta consiga igualá-lo ou superá-lo. A partir de 15 pontos isso é garantido, pois a maior pontuação que um adversário pode alcançar nesse caso é 14.

Cada corrida distribui 6, 4 e 3 pontos para os três primeiros, totalizando 13 pontos por corrida e 39 no total. O máximo que um atleta pode obter é 18 (três primeiros lugares). A pergunta é: qual a menor pontuação que, independentemente dos resultados dos demais, assegura a liderança isolada?

A chave é considerar o pior caso para o atleta: dado que ele obteve uma certa pontuação total $X$, qual a maior pontuação que um único adversário pode conseguir concentrando os melhores resultados possíveis nas corridas? Se esse valor máximo for menor que $X$, então $X$ garante a vitória.

Seja $n_1$ o número de primeiros lugares do atleta. Em cada corrida:

• Se o atleta é 1º (6 pts), o melhor que um adversário pode obter naquela corrida é 4 pts (2º lugar).

• Se o atleta é 2º, 3º ou pior, o adversário pode obter 6 pts (1º lugar) naquela corrida.

Assim, a pontuação máxima de um único adversário é $M = 4n_1 + 6(3 - n_1) = 18 - 2n_1$.

Para um dado $X$, precisamos que para toda combinação de resultados que produza $X$ o correspondente $M$ seja menor que $X$. O pior caso ocorre quando $n_1$ é o menor possível, pois $M$ diminui com $n_1$. Então, calculamos o $n_1$ mínimo possível para cada $X$ e verificamos se $M < X$.

O menor $X$ que satisfaz $M < X$ é 15.

Ilustração concreta: Se o atleta faz 15 pontos (ex.: vence duas corridas e chega em 3º numa), o adversário mais forte pode obter no máximo 4+4+6=14 pontos (2º nas duas que o atleta venceu e 1º na outra). Logo, o atleta vence com folga.

Gabarito: letra B (15).