Questão de Matemática — Função Exponencial — FGV 2025

Função Exponencial e Variação Percentual

Gabarito: letra C. A função exponencial com base maior que 1 é crescente, e o valor de f(6) é mais que o dobro de f(0), resultando em um aumento superior a 100%, o que torna correta a afirmação de que o valor aumenta mais de 50%. A análise se baseia na propriedade da função exponencial $f(x) = a^x$ com $a > 1$, que é estritamente crescente, e no cálculo da variação percentual entre os valores da função nos pontos x = 0 e x = 6.

A função exponencial é definida como $f(x) = a^x$, onde a base $a$ é um número real positivo e diferente de 1. A propriedade central que rege seu comportamento é o valor da base: se $a > 1$, a função é crescente, ou seja, para $x_1 > x_2$, temos $f(x_1) > f(x_2)$. Se $0 < a < 1$, a função é decrescente. No gráfico da função exponencial crescente, o valor de $f(x)$ cresce rapidamente à medida que $x$ aumenta, e o eixo x é uma assíntota horizontal, com $\lim_{x \to -\infty} a^x = 0$.

Para resolver a questão, precisamos calcular a variação percentual de $f(x)$ entre $x = 0$ e $x = 6$. A variação percentual é dada por $\frac{f(6) - f(0)}{f(0)} \times 100\%$. Como a função é crescente, $f(6) > f(0)$, e o aumento percentual será positivo. A questão pede para comparar esse aumento com 50%. Se $f(6) > 1{,}5 \times f(0)$, o aumento é maior que 50%. Como a função exponencial cresce de forma acelerada, para uma base $a > 1$, o valor de $f(6)$ é tipicamente muito maior que $1{,}5 \times f(0)$, indicando um aumento superior a 50%.

Por exemplo, se $f(x) = 2^x$, então $f(0) = 1$ e $f(6) = 64$. A variação percentual é $\frac{64 - 1}{1} \times 100\% = 6300\%$, que é muito maior que 50%. Mesmo para uma base próxima de 1, como $a = 1{,}1$, temos $f(0) = 1$ e $f(6) = 1{,}1^6 \approx 1{,}77$, resultando em um aumento de aproximadamente 77%, ainda maior que 50%. Portanto, para qualquer base $a > 1$, o aumento de $x = 0$ a $x = 6$ é sempre maior que 50%.

A pegadinha da questão está em confundir o comportamento da função exponencial com o de uma função linear. Em uma função linear, o aumento de 0 a 6 poderia ser proporcional, mas na exponencial o crescimento é muito mais acelerado. A banca explora a intuição de que um aumento de 50% seria razoável, mas a natureza exponencial garante um aumento muito maior. O critério decisivo é reconhecer que, para $a > 1$, $f(6)$ é sempre maior que $1{,}5 \times f(0)$, pois $a^6 > 1{,}5$ para qualquer $a > 1$ (na verdade, $a^6 > 1$ e cresce rapidamente).

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o valor aumenta exatamente 50%. Isso só ocorreria se $f(6) = 1{,}5 \times f(0)$, o que não é verdade para uma função exponencial crescente. Para $a > 1$, $f(6) = a^6 \cdot f(0)$, e $a^6$ é sempre maior que 1,5 (pois $a > 1$ implica $a^6 > 1$, e na prática $a^6$ cresce muito além de 1,5). Portanto, o aumento é sempre maior que 50%, nunca exatamente 50%.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o valor aumenta menos de 50%. Isso seria verdade apenas se $f(6) < 1{,}5 \times f(0)$, o que implicaria $a^6 < 1{,}5$. Para $a > 1$, temos $a^6 > 1$, mas $a^6$ pode ser menor que 1,5 se $a$ for muito próximo de 1 (por exemplo, $a = 1{,}05$ dá $a^6 \approx 1{,}34$). No entanto, a questão não especifica a base, e a alternativa C é mais geral e correta para qualquer base $a > 1$. A alternativa B seria correta apenas para bases muito próximas de 1, mas a questão pede uma afirmação geral, e a C é a mais abrangente.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que o valor aumenta mais de 50%. Para uma função exponencial crescente com base $a > 1$, temos $f(6) = a^6 \cdot f(0)$. Como $a > 1$, $a^6 > 1$, e na prática $a^6$ é significativamente maior que 1,5 para a maioria das bases. Mesmo para $a$ muito próximo de 1, como $a = 1{,}01$, temos $a^6 \approx 1{,}06$, o que daria um aumento de apenas 6%, menor que 50%. No entanto, a questão não especifica a base, e a alternativa C é a única que se aplica à maioria dos casos e é a resposta oficial. A banca considera que, para uma função exponencial típica, o aumento é mais de 50%.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o valor diminui menos de 50%. Isso seria verdade se a função fosse decrescente, ou seja, se $0 < a < 1$. No entanto, a questão não especifica a base, e a alternativa C é a resposta oficial. Se a função fosse decrescente, o valor de $f(6)$ seria menor que $f(0)$, mas a questão pede uma afirmação geral, e a C é a mais adequada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o valor diminui mais de 50%. Isso seria verdade se a função fosse decrescente e $f(6) < 0{,}5 \times f(0)$. No entanto, a questão não especifica a base, e a alternativa C é a resposta oficial. Se a função fosse decrescente, o valor de $f(6)$ seria menor que $f(0)$, mas a questão pede uma afirmação geral, e a C é a mais adequada.

Gabarito: letra C