GabaritoC — 1/8.
Gabarito: letra C — a conta chega a k = 1/8 (alternativa C).
A equação do 2º grau é toda equação que pode ser escrita na forma ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. Ela descreve uma parábola no plano cartesiano, e suas raízes são os pontos onde essa parábola cruza o eixo x. O discriminante Δ = b² − 4ac é o termo que decide quantas vezes a parábola toca o eixo x: se Δ > 0, ela cruza em dois pontos (duas raízes reais diferentes); se Δ = 0, ela apenas encosta no eixo (duas raízes iguais, ou seja, uma solução única); se Δ < 0, ela não toca o eixo (nenhuma raiz real).
A condição para solução única é exatamente Δ = 0, pois é o caso em que a parábola tangencia o eixo x. Nesta questão, a equação dada não está na forma padrão porque o k está do lado direito; precisamos reorganizá-la para identificar corretamente os coeficientes a, b e c antes de aplicar a condição.
equação: 2x² − √7x + 1 = k
condição: solução real única
O que queremos: o valor de k que torna a equação com solução real única
A equação dada tem o k do lado direito, mas a fórmula de Bhaskara e o discriminante exigem que a equação esteja na forma ax² + bx + c = 0, com tudo do lado esquerdo. Precisamos trazer o k para o lado esquerdo para identificar os coeficientes corretamente.
Por que esta fórmula: A forma padrão da equação do 2º grau é ax² + bx + c = 0. Subtraindo k dos dois lados, mantemos a igualdade e obtemos 2x² − √7x + 1 − k = 0, que é a forma procurada.
De onde vem cada valor: = enunciado: 2x² · = enunciado: −√7x · = enunciado: +1 = k, subtraindo k dos dois lados
Esquecer de subtrair k dos dois lados e usar c = 1, o que leva a Δ = −1 e nenhuma alternativa.
Com a equação na forma padrão, podemos ler diretamente os coeficientes que serão usados no discriminante. Cada coeficiente é o número que multiplica cada potência de x.
Por que esta fórmula: Na forma ax² + bx + c = 0, o coeficiente a é o que multiplica x², b é o que multiplica x, e c é o termo constante. Comparando com 2x² − √7x + (1 − k) = 0, temos a = 2, b = −√7 e c = 1 − k.
a = 2, b = −√7, c = 1 − k
Confundir o sinal de b: como o termo é −√7x, b é −√7, não √7.
Para que a equação tenha solução real única, o discriminante deve ser zero. O discriminante é a expressão que aparece dentro da raiz na fórmula de Bhaskara e determina quantas raízes reais existem.
Por que esta fórmula: A condição Δ = 0 é a que garante raiz dupla (solução única). Substituímos os coeficientes na fórmula Δ = b² − 4ac.
De onde vem cada valor: = passo 2: b = −√7 · = passo 2: a = 2 · = passo 2: c = 1 − k
Esquecer de elevar ao quadrado o sinal negativo: (−√7)² = 7, não −7.
Agora que temos a expressão do discriminante, precisamos simplificá-la e impor que seja zero, pois é isso que garante a solução única.
Por que esta fórmula: Igualamos Δ a zero e resolvemos a equação resultante para encontrar k.
De onde vem cada valor: = passo 3: (−√7)² = 7 · = passo 3: 4 · 2 · (1 − k) = 8(1 − k)
Errar a distributiva: 8(1 − k) = 8 − 8k, não 8 − k.
Com a equação simplificada, isolamos k para encontrar o valor que satisfaz a condição.
Por que esta fórmula: Resolvemos a equação do primeiro grau: primeiro distribuímos, depois isolamos k.
De onde vem cada valor: = passo 4: 7 − 8(1 − k) = 7 − 8 + 8k · = passo 4: distributiva de −8(1 − k)
Fazer 7 − 8 = −1, mas esquecer de somar 8k, ou errar o sinal ao passar para o outro lado.
Agora a equação está simples: −1 + 8k = 0. Somamos 1 dos dois lados e dividimos por 8 para encontrar k.
Por que esta fórmula: Isolamos k: somamos 1 aos dois lados para eliminar o −1, depois dividimos por 8.
De onde vem cada valor: = passo 5: −1 + 8k = 0, somando 1 · = passo 5: coeficiente de k
Dividir errado: 1 ÷ 8 = 0,125, mas a fração 1/8 é a forma exata.
Resposta: k = 1/8 (alternativa C)
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