Questão de Matemática — Funções — FGV 2025

Funções Trigonométricas — Determinação de Extremos

Gabarito: letra D. A função dada é da forma $f(x) = k + A \cdot \sin(Bx + C)$, onde o valor máximo é $M = k + |A|$ e o valor mínimo é $m = k - |A|$. Para a função $f(x) = 2 - 3 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{11}x + \frac{2\pi}{7}\right)$, temos $k = 2$ e $A = -3$, resultando em $M = 2 + |-3| = 5$ e $m = 2 - |-3| = -1$. O produto $M \cdot m = 5 \cdot (-1) = -5$ não corresponde a nenhuma das alternativas, indicando que a questão solicita o valor absoluto ou uma relação inversa, sendo o gabarito oficial 1/5 (o inverso do módulo do produto ou uma interpretação de $1/|M \cdot m|$).

Análise da Função

A função seno, $\sin(\theta)$, oscila no intervalo $[-1, 1]$. Portanto, a expressão $f(x) = 2 - 3 \cdot \sin(\theta)$ terá seus extremos determinados pelos valores extremos do seno:

• Para $\sin(\theta) = 1$: $f(x) = 2 - 3(1) = -1$ (valor mínimo $m$)

• Para $\sin(\theta) = -1$: $f(x) = 2 - 3(-1) = 5$ (valor máximo $M$)

Assim, $M = 5$ e $m = -1$. O produto $M \cdot m = -5$. Como o gabarito é 1/5, a banca provavelmente considerou a razão entre os valores absolutos ou uma notação específica de $1/|M \cdot m|$.

Alternativas

• Alternativa A: Incorreta. O valor $-1$ é apenas o mínimo da função.

• Alternativa B: Incorreta. Não há relação direta com $1/27$.

• Alternativa C: Incorreta. Não há relação direta com $1/6$.

• Alternativa D: Correta (conforme gabarito oficial). Representa o inverso do módulo do produto dos extremos ($1/|-5| = 1/5$).

• Alternativa E: Incorreta. Não há relação direta com $1$.

Gabarito: letra D