Um quadrado, cujos vértices foram nomeados no sentido horário como A, B, C e D, tem o lado AB em comum com um octógono regular convexo, cujos vértices foram nomeados, também no sentido horário, como A, E, F, G, H, I, J e B.O segmento DF intersecta o lado AE do octógono no ponto K. A razão entre as medidas dos segmentos AK e EK é
A√3.
B√2.
C3/4.
D2/3.
E1.
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GabaritoE — 1.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a A razão AK/EK = 1, portanto a alternativa correta é a letra E..
A ideia por trás
Em geometria plana, polígonos regulares têm lados e ângulos iguais. O quadrado tem ângulo interno de 90°, e o octógono regular tem ângulo interno de 135°. Quando duas figuras compartilham um lado, a disposição dos outros lados é determinada por esses ângulos. A simetria da figura composta muitas vezes revela relações de igualdade entre segmentos, como pontos médios. Nesta questão, a diagonal DF do quadrado intersecta o lado AE do octógono, e a simetria garante que esse ponto de interseção é o ponto médio de AE, resultando em AK = EK.
O que a questão dá
quadrado ABCD com vértices em sentido horário
octógono regular AEFGHIJB com vértices em sentido horário
lado AB comum entre quadrado e octógono
segmento DF intersecta lado AE no ponto K
O que queremos: a razão entre as medidas dos segmentos AK e EK
Passo 1 — Desenhar a figura com quadrado e octógono
Precisamos visualizar a disposição das figuras para entender a interseção. O quadrado ABCD e o octógono AEFGHIJB compartilham o lado AB, então desenhamos o quadrado com AB na base e o octógono 'para fora' do quadrado, com o lado AE saindo de A.
NÃO CAIA NESSA!
Desenhar o octógono para dentro do quadrado, o que altera a posição do lado AE.
Passo 2 — Calcular os ângulos internos das figuras
Os ângulos internos determinam a direção dos lados. O quadrado tem ângulo interno de 90°, e o octógono regular tem ângulo interno de 135° (fórmula: (n-2)*180/n). Isso nos diz que o lado AE forma um ângulo de 45° com o prolongamento de AB, pois 180° - 135° = 45°.
Por que esta fórmula: A fórmula do ângulo interno de um polígono regular é (n-2)*180°/n, onde n é o número de lados. Para o quadrado (n=4), dá 90°; para o octógono (n=8), dá 135°.
De onde vem cada valor: = enunciado: quadrado tem 4 lados, octógono tem 8 lados
NÃO CAIA NESSA!
Usar 180° como ângulo interno de qualquer polígono, esquecendo a fórmula.
Passo 3 — Identificar a simetria da figura
A diagonal DF do quadrado é um eixo de simetria da figura composta? Na verdade, o quadrado tem simetria em relação às suas diagonais, e o octógono regular também tem eixos de simetria. Como o lado AE é simétrico em relação à diagonal DF, o ponto de interseção K é o ponto médio de AE.
NÃO CAIA NESSA!
Achar que não há simetria e tentar calcular por trigonometria sem necessidade.
Passo 4 — Concluir que K é ponto médio de AE
Pela simetria, o segmento DF intersecta AE exatamente no meio, então AK = EK. Isso é uma propriedade de figuras simétricas: o eixo de simetria divide segmentos perpendiculares ao meio.
NÃO CAIA NESSA!
Tentar calcular as medidas dos segmentos sem perceber a simetria.
Passo 5 — Calcular a razão AK/EK
Como AK = EK, a razão entre eles é 1. Isso é direto da igualdade.
Por que esta fórmula: A razão entre dois segmentos iguais é sempre 1.
De onde vem cada valor: = passo 4: AK = EK
NÃO CAIA NESSA!
Achar que a razão é √2 ou outra, por confundir com diagonal de quadrado.
Resposta: A razão AK/EK = 1, portanto a alternativa correta é a letra E.