Questão de Matemática — Seno, Cosseno e Tangente — FGV 2025

Números Complexos — Fórmula de Euler e Logaritmo

Gabarito: letra B. A fórmula de Euler estabelece que $e^{ix} = \cos(x) + i \cdot \text{sen}(x)$. Para encontrar $\ln(i)$, buscamos um valor $z = ix$ tal que $e^z = i$. Comparando com a fórmula, precisamos que $\cos(x) = 0$ e $\text{sen}(x) = 1$, o que ocorre para $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$. Considerando o valor principal ($k=0$), temos $x = \frac{\pi}{2}$, logo $e^{i\pi/2} = i$, o que implica $\ln(i) = i\frac{\pi}{2}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{\pi}{2}$ é apenas a parte real do argumento do logaritmo complexo. O logaritmo de um número complexo puro imaginário $i$ resulta em um número complexo da forma $a + bi$, não apenas um valor real.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta o valor $\frac{\pi}{2}i$, que corresponde exatamente ao resultado da aplicação da função logarítmica natural ao número imaginário $i$, conforme derivado da fórmula de Euler.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\pi$ corresponderia a $e^{i\pi} = -1$, logo $\ln(-1) = i\pi$. Não é o valor de $\ln(i)$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\pi i$ também está associado ao logaritmo de $-1$, conforme explicado anteriormente, e não ao logaritmo de $i$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\frac{3\pi}{2}i$ representa outro ramo do logaritmo complexo (para $k=1$), mas o valor principal, que é o padrão esperado em questões de múltipla escolha, é $\frac{\pi}{2}i$.