Matemática · FGV · 2025 | Questão sqc-fg120431

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 4 (alternativa A).

A ideia por trás

O Teorema do Resto é um atalho para achar o resto de uma divisão de polinômios sem fazer a conta longa: ele diz que o resto de dividir um polinômio Q(x) por x − a é simplesmente Q(a). Isso funciona porque, na divisão, o resto é o que sobra quando o divisor vale zero; como x − a vale zero exatamente em x = a, o resto é o valor do polinômio nesse ponto. A raiz do divisor é o número que zera o divisor: para x − 2, a raiz é 2. Nesta questão, o polinômio que está sendo dividido não é P(x) direto, mas P(x − 1), uma composição: primeiro você substitui x por (x − 1) em P, e depois avalia. O Teorema do Resto manda avaliar o dividendo na raiz do divisor, então precisamos calcular P(2 − 1) = P(1).

O que a questão dá

P(x) = x³ − x² + 3x + 1
divisor: x − 2
dividendo: P(x − 1)

O que queremos: o resto da divisão de P(x − 1) por x − 2

Passo 1 — Aplicar o Teorema do Resto

O Teorema do Resto é a ferramenta certa para achar o resto de uma divisão por x − a sem fazer a divisão longa. Ele diz que o resto é o valor do polinômio dividendo na raiz do divisor. Aqui o divisor é x − 2, cuja raiz é 2, e o dividendo é P(x − 1). Então o resto é P(2 − 1) = P(1).

Por que esta fórmula: O Teorema do Resto: resto = Q(a), onde Q é o polinômio dividendo e a é a raiz do divisor x − a. Como o divisor é x − 2, a = 2. O dividendo é P(x − 1), então Q(2) = P(2 − 1).

Q(2) = P(2 - 1)

De onde vem cada valor: $Q$ = enunciado: P(x − 1) · $2$ = enunciado: divisor x − 2, raiz é 2

Q(2) = P(2 - 1) = \boxed{\text{P}(1)}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o dividendo é P(x − 1) e calcular P(2) direto, o que daria 11 (nem está nas alternativas).

Passo 2 — Calcular P(1)

Agora que sabemos que o resto é P(1), precisamos calcular o valor numérico do polinômio P no ponto x = 1. Isso é só substituir 1 no lugar de x na expressão de P(x).

Por que esta fórmula: P(x) = x³ − x² + 3x + 1, então P(1) = 1³ − 1² + 3·1 + 1.

P(1) = 1^{3} - 1^{2} + 3 \cdot 1 + 1

De onde vem cada valor: $1^{3}$ = enunciado: P(x) = x³ − x² + 3x + 1, substituindo x por 1 · $1^{2}$ = enunciado: idem · $3 \cdot 1$ = enunciado: idem · $1$ = enunciado: termo constante

P(1) = 1 - 1 + 3 + 1 = \boxed{4}

NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal: 1³ − 1² = 0, mas alguns fazem 1 − 1 = 0 e depois somam 3 + 1 = 4, ok; o erro comum é calcular 1³ − 1² como 1 − 1 = 0, mas esquecer de somar o 3 e o 1, ou fazer 1³ = 3.

Resposta: 4 (alternativa A)