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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2025

MatemáticaProbabilidade
Código
fg120432
Banca
FGV
Órgão
SEEC-RN
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Matemática
Em um jogo, só existe a possibilidade de serem sorteados 3 números: 2, 3 e 4. A probabilidade de que cada um desses números seja o resultado do sorteio é inversamente proporcional ao quadrado do próprio número.Sorteando-se um desses números aleatoriamente, a probabilidade de que tal número seja par é
  1. A36/61.
  2. B38/61.
  3. C41/61.
  4. D43/61.
  5. E45/61.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 45/61.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 45/61 (letra E).

A ideia por trás

Quando um evento tem probabilidades proporcionais a certos pesos, a probabilidade de cada resultado é o peso dividido pela soma de todos os pesos. Aqui, os pesos são os inversos dos quadrados: 1/4, 1/9 e 1/16. A soma desses pesos é 61/144, então as probabilidades são (1/4)/(61/144) = 36/61, (1/9)/(61/144) = 16/61 e (1/16)/(61/144) = 9/61. O evento 'par' inclui os números 2 e 4, então somamos suas probabilidades: 36/61 + 9/61 = 45/61. Alternativa E.

O que a questão dá

  • números possíveis: 2, 3 e 4

  • probabilidade inversamente proporcional ao quadrado do número

O que queremos: a probabilidade de sortear um número par

Passo 1 — Escrever as probabilidades com constante

Precisamos expressar as probabilidades de cada número usando uma constante de proporcionalidade, porque elas não são dadas diretamente, apenas a relação entre elas.

Por que esta fórmula: Como a probabilidade é inversamente proporcional ao quadrado, escrevemos P(n) = k / n², onde k é a constante que vamos descobrir.

P(2) = frack2^2, quad P(3) = frack3^2, quad P(4) = frack4^2

De onde vem cada valor: kk = constante de proporcionalidade a determinar · 222^{2} = enunciado: quadrado do número 2 · 323^{2} = enunciado: quadrado do número 3 · 424^{2} = enunciado: quadrado do número 4

P(2)=k4,P(3)=k9,P(4)=k16P(2) = \frac{k}{4}, \quad P(3) = \frac{k}{9}, \quad P(4) = \frac{k}{16}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado, usando 1/2, 1/3, 1/4 em vez de 1/4, 1/9, 1/16.

Passo 2 — Usar a soma das probabilidades igual a 1

A soma de todas as probabilidades de um espaço amostral é sempre 1. Isso nos dá uma equação para encontrar o valor de k.

Por que esta fórmula: A soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1, então somamos as três expressões e igualamos a 1.

k4+k9+k16=1\frac{k}{4} + \frac{k}{9} + \frac{k}{16} = 1

De onde vem cada valor: k4\frac{k}{4} = passo 1: P(2) · k9\frac{k}{9} = passo 1: P(3) · k16\frac{k}{16} = passo 1: P(4)

k4+k9+k16=1\frac{k}{4} + \frac{k}{9} + \frac{k}{16} = 1
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a soma é 1 e tentar resolver sem essa condição.

Passo 3 — Calcular o MMC dos denominadores

Para somar as frações, precisamos de um denominador comum. O MMC de 4, 9 e 16 é 144.

Por que esta fórmula: O MMC é o menor número que é múltiplo de todos os denominadores; 144 é divisível por 4, 9 e 16.

MMC(4,9,16)=144\text{MMC}(4{,}9,16) = 144

De onde vem cada valor: 44 = passo 1: denominador de P(2) · 99 = passo 1: denominador de P(3) · 1616 = passo 1: denominador de P(4)

MMC(4,9,16)=144=144\text{MMC}(4{,}9,16) = 144 = \boxed{144}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 36 como MMC, que não é múltiplo de 16.

Passo 4 — Reescrever a equação com denominador comum

Com o denominador comum, podemos somar os numeradores e simplificar a equação para isolar k.

Por que esta fórmula: Multiplicamos cada fração pelo fator que transforma o denominador em 144: 4 vira 36, 9 vira 16, 16 vira 9.

36k+16k+9k144=1\frac{36k + 16k + 9k}{144} = 1

De onde vem cada valor: 36k36k = passo 3: 144/4 = 36, vezes k · 16k16k = passo 3: 144/9 = 16, vezes k · 9k9k = passo 3: 144/16 = 9, vezes k

36k+16k+9k144=1\frac{36k + 16k + 9k}{144} = 1
NÃO CAIA NESSA!

Errar os fatores de multiplicação, por exemplo usar 12 em vez de 36.

Passo 5 — Resolver a equação para k

Precisamos do valor de k para calcular as probabilidades individuais.

Por que esta fórmula: Somamos os numeradores (36+16+9=61) e multiplicamos ambos os lados por 144 para isolar k.

61k=144⇒k=1446161k = 144 \Rightarrow k = \frac{144}{61}

De onde vem cada valor: 6161 = passo 4: soma dos numeradores · 144144 = passo 3: denominador comum

61k=144⇒k=1446161k = 144 \Rightarrow k = \frac{144}{61}
k=144 /61k = \boxed{144\ /61}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar o 1 por 144, resultando em k = 1/61.

Passo 6 — Calcular a probabilidade de sair 3

Como o evento 'par' é o complemento de 'sair 3', calcular P(3) primeiro simplifica a conta final.

Por que esta fórmula: P(3) = k/9, substituindo k pelo valor encontrado.

P(3)=k9=14461⋅19P(3) = \frac{k}{9} = \frac{144}{61} \cdot \frac{1}{9}

De onde vem cada valor: kk = passo 5: 144/61 · 99 = passo 1: denominador de P(3)

P(3)=14461⋅19=144549=1661=16 /61P(3) = \frac{144}{61} \cdot \frac{1}{9} = \frac{144}{549} = \frac{16}{61} = \boxed{16\ /61}
NÃO CAIA NESSA!

Simplificar errado: 144/9 = 16, mas esquecer de dividir o denominador 61.

Passo 7 — Calcular a probabilidade de número par

A probabilidade de sair par é 1 menos a probabilidade de sair ímpar (que é só o 3). Isso evita somar P(2) e P(4) diretamente.

Por que esta fórmula: O complemento de um evento é 1 menos a probabilidade do evento. Como os únicos números são 2, 3 e 4, 'par' é o complemento de '3'.

P(par)=1−P(3)P(\text{par}) = 1 - P(3)

De onde vem cada valor: 11 = soma das probabilidades de todos os resultados · P(3)P(3) = passo 6: 16/61

P(par)=1−1661=6161−1661=4561=45 /61P(\text{par}) = 1 - \frac{16}{61} = \frac{61}{61} - \frac{16}{61} = \frac{45}{61} = \boxed{45\ /61}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 1 = 61/61 e subtrair errado, ou calcular apenas P(2) = 36/61 e marcar a alternativa A.

Resposta: 45/61 (letra E)

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