Questão de Matemática — Elipse — FGV 2025

Elipse: tangência e interseção com o eixo das ordenadas

Gabarito: letra A — a reta $2y - x = b$, com $b > 0$, tangencia a elipse de semieixos $a = 2$ e $b = 1$ (centro na origem, focos no eixo das abscissas) e intersecta o eixo das ordenadas em $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. O valor de $b$ é obtido impondo-se que o sistema formado pela equação da reta e da elipse tenha solução única (discriminante nulo), e a interseção com o eixo $y$ ocorre quando $x = 0$, resultando em $y = \frac{b}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

A elipse é uma das curvas cônicas, obtida pela interseção de um plano com um cone. Diferentemente da circunferência, que tem um único centro, a elipse possui dois focos, e a soma das distâncias de qualquer ponto da curva aos focos é constante e igual ao comprimento do eixo maior ($2a$). Os elementos principais são: o eixo maior ($2a$), o eixo menor ($2b$), a distância focal ($2c$) e a relação fundamental $a^2 = b^2 + c^2$, que conecta os semieixos à distância focal.

Quando a elipse tem centro na origem e focos sobre o eixo das abscissas (eixo maior horizontal), sua equação reduzida é $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. No caso da figura, os vértices do eixo maior estão em $(-2, 0)$ e $(2, 0)$, logo $a = 2$; os vértices do eixo menor estão em $(0, -1)$ e $(0, 1)$, logo $b = 1$. Portanto, a equação da elipse é $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$.

Para encontrar a reta tangente, substituímos a equação da reta na equação da elipse e impomos que o sistema tenha uma única solução. Isolando $x$ na equação da reta, $x = 2y - b$, e substituindo na elipse, obtemos uma equação do segundo grau em $y$. A condição de tangência é que o discriminante dessa equação seja nulo, o que determina o valor de $b$. Como $b > 0$, obtemos $b = \sqrt{2}$.

A interseção da reta com o eixo das ordenadas (eixo $y$) ocorre quando $x = 0$. Substituindo na equação da reta, $2y - 0 = b$, logo $y = \frac{b}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Esse é exatamente o ponto pedido pela questão.

A pegadinha clássica desta questão é o candidato esquecer de dividir $b$ por 2 ao calcular a interseção com o eixo $y$, marcando a alternativa C ($\sqrt{2}$) em vez da correta. Outro erro comum é confundir os semieixos $a$ e $b$ ao montar a equação da elipse, invertendo os denominadores.

Guarde o passo a passo: identificar os semieixos pela figura → montar a equação da elipse → substituir a reta → impor discriminante nulo para achar $b$ → calcular a interseção com o eixo $y$ fazendo $x = 0$. É exatamente nessa sequência que as alternativas se separam.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A reta $2y - x = b$ tangencia a elipse $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$. Substituindo $x = 2y - b$ na equação da elipse:

Para tangência, o discriminante deve ser zero:

A interseção com o eixo das ordenadas ($x = 0$) é $2y = b \Rightarrow y = \frac{b}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. Portanto, a alternativa A está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\frac{\sqrt{3}}{2}$ não corresponde a nenhum resultado do cálculo. Se o candidato errasse ao identificar os semieixos (por exemplo, tomando $a = \sqrt{3}$), poderia chegar a um valor próximo, mas não é o caso. O valor correto é $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\sqrt{2}$ é exatamente o valor de $b$, não o da interseção com o eixo $y$. O candidato que encontra $b = \sqrt{2}$ e esquece de dividir por 2 ao calcular $y = \frac{b}{2}$ marca esta alternativa. É a pegadinha mais comum desta questão.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\sqrt{3}$ não aparece em nenhuma etapa do cálculo. Pode ser resultado de erro na identificação dos semieixos ou na resolução da equação do segundo grau.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $2\sqrt{2}$ é o dobro do valor correto. Se o candidato calculasse $b = \sqrt{2}$ e, em vez de dividir por 2, multiplicasse por 2, chegaria a este valor. Outra possibilidade é confundir a interseção com o eixo $y$ com o próprio valor de $b$.

Gabarito: letra A