Um produto é vendido a R$ 8,00 em embalagens idênticas, que contém sempre a mesma quantidade em gramas. O fabricante quer aumentar a receita por grama do produto em 25%. No entanto, em vez de alterar o preço, modificará a quantidade de produto por embalagem, colocando 70 gramas a menos.Para atingir esse objetivo, as embalagens devem passar a conter
A125 g
B240 g.
C250 g.
D280 g.
E350 g.
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GabaritoD — 280 g.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 280 g (alternativa D).
A ideia por trás
A receita por grama é o valor recebido por cada grama vendida, calculado como o preço da embalagem dividido pela massa. Se o preço é fixo e a massa diminui, a receita por grama aumenta, pois o mesmo dinheiro é pago por menos produto. A relação central é que, para aumentar a receita por grama em 25%, a massa deve ser multiplicada por 1/1,25 = 0,8, ou seja, reduzida a 80% do valor original. Nesta questão, precisamos descobrir a massa original a partir da redução de 70 g e, então, calcular a nova massa.
O que a questão dá
preço da embalagem = R$ 8,00
redução na quantidade = 70 g
aumento desejado na receita por grama = 25%
O que queremos: a nova quantidade de produto por embalagem, em gramas
Passo 1 — Montar a equação da receita por grama
Precisamos traduzir o problema em uma equação. A receita por grama é o preço dividido pela massa. Se a massa original é x, a receita original é 8/x. Com a redução de 70 g, a nova massa é x - 70, e a nova receita deve ser 25% maior, ou seja, 1,25 vezes a original.
Por que esta fórmula: A relação entre as receitas é: nova receita = 1,25 × receita original. Como o preço é o mesmo, isso vira 8/(x-70) = 1,25 × (8/x). Essa é a equação que relaciona a massa original com a nova.
De onde vem cada valor: = enunciado: preço da embalagem = R$ 8,00 · = massa original em gramas (incógnita) · = enunciado: redução de 70 g · = enunciado: aumento de 25% (100% + 25% = 125% = 1,25)
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar a receita original por 1,25, igualando as receitas diretamente.
Passo 2 — Simplificar a equação cancelando o 8
Para resolver a equação, simplificamos dividindo ambos os lados por 8, já que ele aparece nos dois lados. Isso isola a relação entre as massas.
Por que esta fórmula: Cancelar o fator comum 8 é uma manipulação algébrica válida e simplifica a equação para uma forma mais fácil de resolver.
De onde vem cada valor: = resultado de 8/8 · = passo 1: denominador do lado esquerdo · = passo 1: fator de aumento · = passo 1: denominador do lado direito
NÃO CAIA NESSA!
Cancelar o 8 apenas de um lado, esquecendo de dividir o outro.
Passo 3 — Inverter os dois lados da equação
Com frações dos dois lados, inverter (trocar numerador e denominador) é uma forma de eliminar as frações e deixar a incógnita no numerador, facilitando o isolamento.
Por que esta fórmula: Se a/b = c/d, então b/a = d/c (desde que a e c não sejam zero). Isso é uma propriedade das proporções.
De onde vem cada valor: = passo 2: numerador após inverter · = passo 2: numerador do lado direito após inverter · = passo 2: denominador do lado direito
NÃO CAIA NESSA!
Inverter apenas um lado, ou inverter sem trocar os termos corretamente.
Passo 4 — Converter 1,25 em fração
Trabalhar com frações em vez de decimais facilita a resolução algébrica, pois evita números decimais na equação.
Por que esta fórmula: 1,25 = 125/100 = 5/4, pois 125 e 100 têm divisor comum 25.
De onde vem cada valor: = passo 3: valor decimal · = 125 ÷ 25 · = 100 ÷ 25
NÃO CAIA NESSA!
Escrever 1,25 como 1/4 ou 5/2, confundindo com outras frações.
Passo 5 — Reescrever a equação com a fração
Substituímos 1,25 por 5/4 na equação do passo 3, pois isso permite resolver a divisão por uma fração multiplicando pelo inverso.
Por que esta fórmula: Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso: x ÷ (5/4) = x × (4/5).
De onde vem cada valor: = passo 3: lado esquerdo · = x multiplicado por 4 (numerador do inverso) · = denominador do inverso
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de inverter a fração e escrever x - 70 = 5x/4.
Passo 6 — Eliminar o denominador multiplicando por 5
Para resolver a equação linear, precisamos eliminar o denominador 5. Multiplicamos ambos os lados por 5, o que é uma operação válida e simplifica a equação.
Por que esta fórmula: Multiplicar ambos os lados por um mesmo número não altera a igualdade. Isso remove a fração.
De onde vem cada valor: = x multiplicado por 5 · = 70 multiplicado por 5 · = 4x/5 multiplicado por 5 resulta em 4x
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar apenas um lado por 5, ou esquecer de multiplicar o 70.
Passo 7 — Isolar x para achar a massa original
Agora temos uma equação linear simples. Para encontrar x, subtraímos 4x de ambos os lados, o que isola x.
Por que esta fórmula: Subtrair 4x de ambos os lados mantém a igualdade e move os termos com x para um lado.
De onde vem cada valor: = 5x - 4x = x · = constante do lado direito
NÃO CAIA NESSA!
Errar o sinal ao subtrair, resultando em x = -350.
Passo 8 — Calcular a nova massa subtraindo 70 g
A massa original é 350 g. Como o fabricante coloca 70 g a menos, a nova massa é a original menos 70 g.
Por que esta fórmula: A nova quantidade é a original menos a redução: nova = original - redução.
De onde vem cada valor: = passo 7: 350 g · = enunciado: redução de 70 g
NÃO CAIA NESSA!
Somar 70 em vez de subtrair, ou usar a massa original como resposta final.