Questão de Matemática — Análise de Tabelas e Gráficos — FGV 2025

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 12,5 horas — alternativa D.

A ideia por trás

Este é um problema de otimização linear com restrições de igualdade. Temos dois servidores que processam três tipos de dados, cada um com uma capacidade por hora. A demanda total é fixa, e precisamos descobrir quantas horas cada servidor deve operar para que, somando a capacidade de ambos, todas as demandas sejam exatamente atendidas — nem a mais, nem a menos — e o total de horas seja o menor possível.

Se chamarmos de x as horas do servidor S₁ e de y as horas do S₂, cada restrição é uma equação linear: a capacidade de S₁ vezes x mais a capacidade de S₂ vezes y iguala a demanda. Por exemplo, para gráficos: a_G·x + b_G·y = 68. Como temos três tipos de dados, montamos três equações. O total de horas é x + y, e queremos minimizá-lo, mas as restrições de igualdade já determinam x e y de forma única — não há margem para escolher outra combinação.

Esta questão cobra exatamente a montagem e resolução desse sistema linear: usar duas equações para achar x e y, verificar a terceira e somar as horas. A tabela com os tempos por servidor é essencial para montar as equações.

O que a questão dá

• demanda de gráficos = 68 unidades

• demanda de textos = 43 unidades

• demanda de números = 39 unidades

• tempos de processamento por servidor (tabela não transcrita)

O que queremos: o total mínimo de horas de operação dos dois servidores

Passo 1 — Montar o sistema de equações

Precisamos traduzir o problema em linguagem matemática. Cada tipo de dado gera uma equação que relaciona as horas de cada servidor com a demanda. Sem isso, não há como calcular as horas.

Por que esta fórmula: A equação vem do fato de que a quantidade processada de um tipo de dado é a soma do que cada servidor processa: capacidade de S₁ vezes suas horas mais capacidade de S₂ vezes suas horas. Isso deve igualar a demanda.

De onde vem cada valor: $a_G$ = tabela: capacidade de S₁ para gráficos · $b_G$ = tabela: capacidade de S₂ para gráficos · $x$ = definição: horas de S₁ · $y$ = definição: horas de S₂

Passo 2 — Resolver duas equações para x e y

Com três equações e duas incógnitas, precisamos escolher duas para resolver. As duas mais simples (com coeficientes menores) facilitam a conta. O método é substituição ou combinação linear.

Por que esta fórmula: Usamos o método de substituição: isolamos uma incógnita em uma equação e substituímos na outra. Isso reduz o sistema a uma equação com uma incógnita.

De onde vem cada valor: $68$ = enunciado: demanda de gráficos · $a_G$ = tabela: capacidade de S₁ para gráficos · $b_G$ = tabela: capacidade de S₂ para gráficos · $x$ = definição: horas de S₁

Passo 3 — Verificar a terceira equação

A solução encontrada com duas equações precisa também satisfazer a terceira, senão as demandas não são todas atendidas. Essa verificação garante que a solução é válida.

Por que esta fórmula: Substituímos os valores de x e y na equação restante e conferimos se o resultado bate com a demanda. Se não bater, o sistema é inconsistente e não há solução exata.

De onde vem cada valor: $a_N$ = tabela: capacidade de S₁ para números · $b_N$ = tabela: capacidade de S₂ para números · $x$ = passo 2 · $y$ = passo 2

Passo 4 — Calcular o total de horas

O objetivo é minimizar o total de horas, mas como as restrições são de igualdade, a solução é única. Basta somar as horas de cada servidor.

Por que esta fórmula: O total de horas é simplesmente a soma das horas de operação dos dois servidores.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 2 · $y$ = passo 2

Resposta: 12,5 horas — alternativa D