GabaritoA — 14.
Gabarito: letra A — a conta chega a A soma dos algarismos de N é 14, alternativa A..
Múltiplos e divisibilidade são ferramentas para descrever relações entre números inteiros. Um número é múltiplo de outro quando pode ser escrito como o produto desse outro por um inteiro; por exemplo, os múltiplos de 11 são 11, 22, 33, ... Já o resto da divisão indica o que sobra quando um número não é divisível exato por outro: dizer que um número deixa resto 1 ao ser dividido por 7 significa que ele é igual a 7 vezes um inteiro mais 1.
A condição '263 × N deixa resto 1 ao ser dividido por 7' pode ser escrita como 263 × N ≡ 1 (mod 7). Na aritmética modular, podemos substituir 263 pelo seu resto na divisão por 7, que é 4, pois 263 = 7 × 37 + 4. Assim, a condição vira 4N ≡ 1 (mod 7). Para isolar N, precisamos do inverso de 4 módulo 7, ou seja, um número que multiplicado por 4 dê 1 módulo 7; esse número é 2, pois 4 × 2 = 8 ≡ 1 (mod 7). Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos N ≡ 2 (mod 7). Isso significa que N, ao ser dividido por 7, deixa resto 2.
Esta questão combina duas restrições: N deve ser múltiplo de 11 e estar entre 200 e 300, e também deve deixar resto 2 na divisão por 7. Vamos listar os múltiplos de 11 nesse intervalo e testar qual deles satisfaz a condição do resto.
N é um múltiplo de 11
200 < N < 300
263 × N deixa resto 1 ao ser dividido por 7
O que queremos: a soma dos algarismos de N
Precisamos encontrar todos os candidatos a N. Como N é múltiplo de 11 e está entre 200 e 300, podemos listar os números dessa forma: 11 × 19 = 209, 11 × 20 = 220, e assim por diante, até 11 × 27 = 297. Esses são os únicos múltiplos de 11 nesse intervalo.
Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma listagem sistemática. O primeiro múltiplo de 11 maior que 200 é 209 (11 × 19) e o último menor que 300 é 297 (11 × 27).
209, 220, 231, 242, 253, 264, 275, 286, 297
Esquecer algum múltiplo ou incluir 198 (que é menor que 200) ou 308 (que é maior que 300).
Para trabalhar com a condição de resto, é mais fácil usar números pequenos. Como 263 = 7 × 37 + 4, o resto de 263 na divisão por 7 é 4. Isso simplifica a condição: em vez de 263 × N, usamos 4 × N.
Por que esta fórmula: Na aritmética modular, se dois números têm o mesmo resto na divisão por 7, eles são equivalentes. Então 263 ≡ 4 (mod 7).
De onde vem cada valor: = enunciado · = constante: resto da divisão de 263 por 7 · = constante: quociente da divisão de 263 por 7
Esquecer de reduzir e tentar trabalhar com 263 diretamente, o que torna a conta mais difícil.
A condição original é 263 × N ≡ 1 (mod 7). Substituindo 263 por 4, temos 4N ≡ 1 (mod 7). Para isolar N, precisamos multiplicar ambos os lados pelo inverso de 4 módulo 7, que é 2, pois 4 × 2 = 8 ≡ 1 (mod 7). Assim, N ≡ 2 (mod 7).
Por que esta fórmula: O inverso de um número a módulo m é o número b tal que a × b ≡ 1 (mod m). Aqui, o inverso de 4 é 2.
De onde vem cada valor: = definição: incógnita · = constante: inverso de 4 módulo 7
N deixa resto 2 na divisão por 7
Usar o inverso errado, como 3, que não satisfaz 4 × 3 = 12 ≡ 5 (mod 7).
Agora temos duas condições: N é múltiplo de 11 e N ≡ 2 (mod 7). Vamos testar cada múltiplo da lista do passo 1 para ver qual deixa resto 2 na divisão por 7. Podemos calcular o resto de cada um: 209 ÷ 7 = 29, resto 6; 220 ÷ 7 = 31, resto 3; 231 ÷ 7 = 33, resto 0; 242 ÷ 7 = 34, resto 4; 253 ÷ 7 = 36, resto 1; 264 ÷ 7 = 37, resto 5; 275 ÷ 7 = 39, resto 2; 286 ÷ 7 = 40, resto 6; 297 ÷ 7 = 42, resto 3. O único que deixa resto 2 é 275.
Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma verificação direta. Podemos também usar a propriedade de que N ≡ 2 (mod 7) significa que N = 7k + 2 para algum inteiro k.
Parar no primeiro múltiplo que parece certo sem verificar todos, ou errar o cálculo do resto.
A pergunta final é a soma dos algarismos de N. Como N = 275, os algarismos são 2, 7 e 5. Somando: 2 + 7 + 5 = 14.
Por que esta fórmula: A soma dos algarismos é simplesmente a adição dos dígitos que compõem o número.
De onde vem cada valor: = passo 4: N = 275 · = passo 4: N = 275 · = passo 4: N = 275
Somar os algarismos de 263 em vez de 275, ou errar a soma.
Resposta: A soma dos algarismos de N é 14, alternativa A.
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