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Questão de Matemática — Ângulos - Lei Angular de Thales — FGV 2025

MatemáticaÂngulos - Lei Angular de Thales
Código
fg120440
Banca
FGV
Órgão
SEEC-RN
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Professor de Matemática
Considere uma circunferência. Seja AB um de seus diâmetros. A partir do ponto A, traça-se uma corda AC, tal que o ângulo BÂC mede 20°. Do ponto C, traça-se uma corda CD perpendicular ao diâmetro AB.O ângulo CD̂B mede
  1. A5°
  2. B10°
  3. C15°.
  4. D20°.
  5. E40°.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 20°.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 20° (alternativa D).

A ideia por trás

Ângulo inscrito é aquele que tem o vértice na circunferência e os lados são cordas. Sua medida é a metade do arco que ele enxerga. Quando o arco é uma semicircunferência (180°), o ângulo inscrito é reto (90°). Além disso, ângulos inscritos que enxergam o mesmo arco são iguais. Nesta questão, usamos essas propriedades para relacionar o ângulo pedido com o ângulo dado de 20°.

O que a questão dá

  • AB é diâmetro da circunferência

  • corda AC traçada a partir de A

  • ângulo BÂC = 20°

  • corda CD perpendicular ao diâmetro AB

O que queremos: a medida do ângulo CD̂B

Passo 1 — Reconhecer o triângulo retângulo ABC

Como AB é diâmetro, o ângulo AĈB, que tem vértice na circunferência e enxerga o diâmetro, é um ângulo inscrito que determina uma semicircunferência (arco de 180°). Pela propriedade do ângulo inscrito, sua medida é a metade do arco: 180°/2 = 90°. Logo, o triângulo ABC é retângulo em C.

Por que esta fórmula: A propriedade do ângulo inscrito: ângulo = metade do arco correspondente. Como o arco AB é 180°, o ângulo AĈB = 90°.

∠ACB=12⋅180°=90°\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 180° = 90°

De onde vem cada valor: ∠ACB\angle ACB = enunciado: ângulo inscrito que enxerga o diâmetro AB · 180°180° = enunciado: AB é diâmetro, arco de semicircunferência

∠ACB=12⋅180°=90°=90 ∘\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 180° = 90° = \boxed{90\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o ângulo inscrito que enxerga o diâmetro é sempre reto.

Passo 2 — Calcular o ângulo AB̂C no triângulo ABC

No triângulo ABC, já conhecemos dois ângulos: BÂC = 20° e AĈB = 90°. A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, então podemos achar o terceiro ângulo.

Por que esta fórmula: Soma dos ângulos internos de um triângulo: A + B + C = 180°.

∠ABC=180°−∠BAC−∠ACB\angle ABC = 180° - \angle BAC - \angle ACB

De onde vem cada valor: ∠BAC\angle BAC = enunciado: 20° · ∠ACB\angle ACB = passo 1: 90°

∠ABC=180°−20°−90°=70°=70 ∘\angle ABC = 180° - 20° - 90° = 70° = \boxed{70\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração: 180 - 20 - 90 = 70, não 80.

Passo 3 — Relacionar os ângulos inscritos que enxergam o mesmo arco

O ângulo AB̂C = 70° é um ângulo inscrito que enxerga o arco AC. O ângulo AD̂C também é um ângulo inscrito que enxerga o mesmo arco AC, pois ambos têm vértices B e D na circunferência e lados passando por A e C. Portanto, eles são iguais.

Por que esta fórmula: Ângulos inscritos que enxergam o mesmo arco são congruentes.

∠ADC=∠ABC\angle ADC = \angle ABC

De onde vem cada valor: ∠ABC\angle ABC = passo 2: 70°

∠ADC=70°=70 ∘\angle ADC = 70° = \boxed{70\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Não perceber que B e D estão na mesma circunferência e enxergam o mesmo arco AC.

Passo 4 — Usar a perpendicularidade para achar o ângulo AĈD

CD é perpendicular a AB. Seja E o ponto de interseção de CD com AB. No triângulo ACE, retângulo em E, o ângulo em A é 20° (pois AE está sobre AB e AC é a mesma corda). Logo, o ângulo AĈE = 70°. Como C, E e D são colineares, o ângulo AĈD = 70° também.

Por que esta fórmula: Em um triângulo retângulo, os ângulos agudos somam 90°.

∠ACD=90°−∠CAE\angle ACD = 90° - \angle CAE

De onde vem cada valor: ∠CAE\angle CAE = enunciado: BÂC = 20°, e AE está sobre AB

∠ACD=90°−20°=70°=70 ∘\angle ACD = 90° - 20° = 70° = \boxed{70\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o ângulo AĈD com o ângulo AĈB.

Passo 5 — Calcular o ângulo CD̂B no triângulo BCD

No triângulo BCD, conhecemos o ângulo em C (AĈD = 70°, que é o mesmo que BĈD, pois A, C, B estão na circunferência e D está na perpendicular) e o ângulo em B (AB̂C = 70°, que é o mesmo que CB̂D, pois A, B, D estão alinhados? Na verdade, D não está em AB, mas o ângulo CB̂D é o mesmo que AB̂C? Não, precisamos verificar. Na verdade, o ângulo CD̂B é o que queremos. Podemos usar a soma dos ângulos do triângulo BCD: temos BĈD = 70° (pois AĈD = 70° e C, A, B são colineares? Não, A, C, B não são colineares. Mas o ângulo BĈD é o ângulo entre CB e CD. Como CD é perpendicular a AB, e CB é uma corda, não é trivial. Melhor usar a propriedade dos ângulos inscritos: o ângulo CD̂B enxerga o arco CB. O ângulo CÂB também enxerga o arco CB. Portanto, CD̂B = CÂB = 20°.

Por que esta fórmula: Ângulos inscritos que enxergam o mesmo arco são iguais. O ângulo CD̂B e o ângulo CÂB (que é BÂC) enxergam o mesmo arco CB.

∠CDB=∠CAB\angle CDB = \angle CAB

De onde vem cada valor: ∠CAB\angle CAB = enunciado: BÂC = 20°

∠CDB=20°=20 ∘\angle CDB = 20° = \boxed{20\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Tentar usar o triângulo BCD sem perceber a relação com o arco CB.

Resposta: 20° (alternativa D)

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