Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FGV 2025

Sistemas de numeração posicional: a base 4

Gabarito: letra E. O sistema descrito é um sistema de numeração posicional de base 4: cada laço representa um grupo de 4 unidades, e os nós representam as unidades que sobram após o agrupamento. Como o agrupamento é feito de 4 em 4, o número de nós (unidades remanescentes) nunca pode ser maior que 3 — se houvesse 4 ou mais nós, eles formariam um novo laço. Portanto, é impossível que um cipó tenha mais do que 4 nós.

O enunciado descreve exatamente o mecanismo de um sistema de numeração posicional, como o nosso sistema decimal (base 10) ou o binário (base 2). A ideia central é que, ao agrupar objetos em grupos de uma quantidade fixa (a base), o que sobra — o "resto" — é representado por um símbolo que só pode variar de 0 até (base − 1). Aqui, a base é 4, então o resto (os nós) só pode ser 0, 1, 2 ou 3. Se houvesse 4 nós, eles seriam agrupados em um laço, reduzindo o número de nós a 0 e aumentando o número de laços em 1.

Vamos traduzir o sistema para uma linguagem mais familiar: se um cipó tem $L$ laços e $N$ nós, o número de objetos contados é $4 \times L + N$. Por exemplo, 2 laços e 3 nós representam $4 \times 2 + 3 = 11$ objetos. A restrição é que $N$ só pode ser 0, 1, 2 ou 3, pois se $N = 4$, isso equivaleria a $4 \times L + 4 = 4 \times (L+1) + 0$, ou seja, um laço a mais e zero nós. Assim, a representação é única e o número de nós é sempre menor que 4.

A pegadinha da questão está em confundir a quantidade de laços com a quantidade de nós. Os laços representam os grupos de 4, e não há limite para o número de laços — quanto maior a quantidade de objetos, mais laços são necessários. Já os nós representam o resto da divisão por 4, e por isso estão limitados a 0, 1, 2 ou 3. A alternativa E inverte essa lógica, afirmando que o limite se aplica aos nós, quando na verdade o limite se aplica aos nós, não aos laços.

Alternativa A — ✅ Correta

É possível que um cipó não tenha nós e tenha apenas laços. Isso ocorre quando o número de objetos é um múltiplo de 4, ou seja, o resto da divisão por 4 é 0. Por exemplo, 8 objetos = 2 laços e 0 nós. A alternativa afirma algo possível, portanto está correta.

Alternativa B — ✅ Correta

É possível que um cipó tenha exatamente 3 laços. Isso representa 12 objetos (3 × 4 = 12), com 0 nós. Não há nenhuma restrição que impeça a existência de 3 laços. A alternativa está correta.

Alternativa C — ✅ Correta

É possível que um cipó tenha exatamente 3 nós. Isso ocorre, por exemplo, com 3 objetos (0 laços e 3 nós) ou com 7 objetos (1 laço e 3 nós). Como 3 é menor que 4, é um valor válido para o resto. A alternativa está correta.

Alternativa D — ✅ Correta

É possível que um cipó tenha mais do que 4 laços. Os laços representam os grupos de 4, e não há limite para a quantidade de grupos. Por exemplo, 20 objetos = 5 laços e 0 nós. A alternativa está correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta ⟵ GABARITO

Afirma que é impossível ter mais do que 4 nós. Na verdade, o número de nós é o resto da divisão por 4, e esse resto só pode ser 0, 1, 2 ou 3. Portanto, é impossível ter 4 ou mais nós — mas a alternativa diz "mais do que 4", o que incluiria 5, 6, etc., que também são impossíveis. A afirmação está correta em sua essência, mas a questão pede a alternativa que é impossível, e todas as outras são possíveis. A alternativa E é a única que descreve uma situação impossível, então ela é a resposta correta para a pergunta "é impossível que um cipó".

Gabarito: letra E — é impossível que um cipó tenha mais do que 4 nós, pois o número de nós é sempre o resto da divisão por 4, que varia de 0 a 3.